Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến ME, MF đến đường tròn (với E, F là các tiếp điểm).
1) Chứng minh các điểm M, E, O, F cùng thuộc một đường tròn.
2) Đoạn OM cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
3) Kẻ đường kính ED của \(\left( {O;R} \right)\). Hạ FK vuông góc với ED. Gọi P là giao điểm của MD và FK. Chứng minh P là trung điểm của FK.
Quảng cáo
1) Chứng minh M, E, O, F cùng thuộc đường tròn đường kính MO
2) Chứng minh I là giao của 2 đường phân giác trong tam giác MEF dựa vào các góc phụ nhau
3) Kéo dài DF và EM cắt nhau tại G từ đó sử dụng định lý Ta-let để chứng minh \(PF = PK\)
1) Chứng minh các điểm M, E, O, F cùng thuộc một đường tròn.
Vì ME là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên ME vuông góc với OE, suy ra tam giác MOE nội tiếp đường tròn đường kính MO (1)
Vì MF là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên MF vuông góc với OF, suy ra tam giác MOF nội tiếp đường tròn đường kính MO (2)
Từ (1) và (2) suy ra M, E, O, F cùng thuộc một đường tròn.
2) Đoạn OM cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
Gọi \(MO \cap EF = \left\{ H \right\}\)
Vì M là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow ME = MF\) (tính chất) mà \(OE = OF = R\) (gt)
\( \Rightarrow \) MO là đường trung trực của EF
\( \Rightarrow MO \bot EF\)
\( \Rightarrow \angle IFE + \angle OIF = {90^o}\,\)
Vì \(OI = OF = R\) nên tam giác OIF cân tại O
\( \Rightarrow \angle OIF = \angle OFI\) mà \(\angle MFI + \angle OFI = {90^o}\,;\,\,\,\angle IFE + \angle OIF = {90^o}\)
\( \Rightarrow \angle MFI = \angle IFE\)
\( \Rightarrow \) FI là phân giác của \(\angle MFE\) (1)
Vì M là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow \) MI là phân giác của \(\angle EMF\) (tính chất) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF (đpcm)
3) Kẻ đường kính ED của \(\left( {O;R} \right)\). Hạ FK vuông góc với ED. Gọi P là giao điểm của MD và FK. Chứng minh P là trung điểm của FK.
Gọi G là giao điểm của tia DF và tia EM.
Ta có \(\angle EFD = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow EF \bot DG\) mà \(EF \bot OM\) (cmt)
\( \Rightarrow OM//DG\) (từ vuông góc đến song song)
Tam giác EDG có \(OE = OD\,\,;\,\,OM//DG\,\, \Rightarrow ME = MG\)(tính chất đường trung bình)
Áp dụng định lý Ta-let cho tam giác EDM có \(PK//ME\) (cùng vuông góc với ED) ta được: \(\frac{{PK}}{{ME}} = \frac{{DP}}{{DM}}\) (3)
Áp dụng định lý Ta-let cho tam giác MDG có \(PF//MG\) (cùng vuông góc với ED) ta được: \(\frac{{PE}}{{MG}} = \frac{{DP}}{{DM}}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{PK}}{{ME}} = \frac{{PF}}{{MG}}\) mà \(ME = MG\) (cmt)
\( \Rightarrow PK = PF\,\, \Rightarrow \) P là trung điểm của FK.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
