Tập nghiệm của phương trình \(\sin \frac{{5x}}{2} = 5{\cos ^3}x\,.\,\sin \frac{x}{2}\,\,\,\,\)có bao nhiêu

Câu hỏi số 288817:

Vận dụng

Tập nghiệm của phương trình \(\sin \frac{{5x}}{2} = 5{\cos ^3}x\,.\,\sin \frac{x}{2}\,\,\,\,\)có bao nhiêu nghiệm dương bé hơn \(3\pi \)?

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:288817

Phương pháp giải

Do phương trình chứa\(\sin \frac{{5x}}{2};\,\sin \frac{x}{2}\) nên ta nhân cả 2 vế với\(\cos \frac{x}{2}\), dùng công thức biến đổi tích thành tổng

\(2\sin \frac{{5x}}{2}.\,\cos \frac{x}{2} = 10{\cos ^3}x\,.\,\sin \frac{x}{2}.\,\cos \frac{x}{2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\sin 3x\, + \,\,\sin 2x\, = \,5{\cos ^3}x\,.\,\sin x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

Chuyển vế, dùng công thức nhân bac và đặt nhân tử chung là \(\sin x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\,3\sin x\, - \,4{\sin ^3}x\, + \,2\sin x.\cos x\, = 5{\cos ^3}x\,.\,\sin x\\ \Leftrightarrow \,\,\,(3\, - \,4{\sin ^2}x\, + \,\cos x\, - 5{\cos ^3}x)\sin x\, = \,0\end{array}\)

Giải chi tiết

+) Với \(\cos \frac{x}{2}\, = \,0\) ta được \(\cos x\, = \,2{\cos ^2}\frac{x}{2}\, - \,1\, = \, - 1\) và \(\sin \frac{x}{2}\, = \, \pm 1\,\,\, \Rightarrow \,\,\,VP\, = \, \pm 5\)

Khi đó phương trình (2) có dạng: \(\sin \frac{{5x}}{2}\, = \, \pm 5\) vô nghiệm.

+) Với \(\cos \frac{x}{2}\, \ne \,0\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{x}{2} \ne \frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \,\, \Leftrightarrow \,\,\,x \ne \,\pi \, + \,k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2\(\cos \frac{x}{2}\, \ne \,0\) ta được

\[\begin{array}{l}\;\;\;\;2\sin \frac{{5x}}{2}.\,\cos \frac{x}{2} = 10{\cos ^3}x\,.\,\sin \frac{x}{2}.\,\cos \frac{x}{2}\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\sin 3x\, + \,\,\sin 2x\, = \,5{\cos ^3}x\,.\,\sin x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\, \Leftrightarrow \,\,\,3\sin x\, - \,4{\sin ^3}x\, + \,2\sin x.\cos x\, = 5{\cos ^3}x\,.\,\sin x\\ \Leftrightarrow \,\,\,(3\, - \,4{\sin ^2}x\, + \,\cos x\, - 5{\cos ^3}x)\sin x\, = \,0\\\, \Leftrightarrow \,\,(5{\cos ^3}x\, - \,4{\cos ^2}x\, - \,2\cos x\, + \,1)\,\sin x\, = \,0\\ \Leftrightarrow \,\,(5{\cos ^2}x\, + \cos x\, - \,1)(\cos x\, - \,1)\,\sin x\, = 0\,\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}5{\cos ^2}x\, + \cos x\, - \,1\, = \,0\\\cos x\, - \,1\, = \,0\\\sin x\, = 0\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x\, = \,\frac{{1\, - \,\sqrt {21} }}{{10}}\, = \,\cos \alpha \left( {\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)} \right)\\\cos x\, = \,\frac{{1\, + \,\sqrt {21} }}{{10}}\, = \,\cos \beta \left( {\beta \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)} \right)\\\sin x\, = \,0\end{array} \right.\,\,\\\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x\, = \, \pm \alpha \, + \,k2\pi \\x\, = \, \pm \beta \, + \,m2\pi \\x\, = \,l\pi \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\, = \, \pm \alpha \, + \,k2\pi \\x\, = \, \pm \beta \, + \,m2\pi \\x\, = \,2l\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k,\;m,\;l \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}\]

Các nghiệm thõa đều thõa mãn \(\,x \ne \,\pi \, + \,k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;\;3\pi } \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < \,\alpha \, + \,{k_1}2\pi < 3\pi \Leftrightarrow {k_1} \in \left\{ {0;1} \right\}\\0 < \, - \alpha \, + \,{k_2}2\pi < 3\pi \Leftrightarrow {k_2} \in \left\{ 1 \right\}\\0 < \beta \, + \,{m_1}2\pi < 3\pi \Leftrightarrow {m_1} \in \left\{ {0;1} \right\}\\0 < - \beta \, + \,{m_2}2\pi < 3\pi \Leftrightarrow {m_2} \in \left\{ 0 \right\}\\0 < \,2l\pi < 3\pi \Leftrightarrow l \in \left\{ 1 \right\}\end{array} \right.\)

Vậy có 7 nghiệm thõa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.