Phương trình \(\sin 2x - \cos 2x - \cos x - \sin x = 0\)có mấy nghiệm dương nhỏ hơn \(\pi

Câu hỏi số 288816:

Vận dụng

Phương trình \(\sin 2x - \cos 2x - \cos x - \sin x = 0\)có mấy nghiệm dương nhỏ hơn \(\pi \)?

A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:288816

Phương pháp giải

+) Dùng công thức nhân đôi với \(\sin 2x,\,\,\cos 2x\); nhóm nhân tử: \((2\sin x\cos x - \sin x) - \left( {2{{\cos }^2}x + \cos x - 1} \right) = 0\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow (2\sin x\cos x - \sin x) - \left( {2{{\cos }^2}x + \cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin x(2\cos x - 1) - (2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0\\ \Leftrightarrow (2\cos x - 1)(\sin x - \cos x - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\\\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + l2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + m2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + n2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + l2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + m2\pi \\x = \pi + n2\pi \end{array} \right.\left( {k,\;l,\;m,\;n \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;\;\pi } \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{3} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{1}{3} \Leftrightarrow k = 0\\0 < - \frac{\pi }{3} + l2\pi < \pi \Leftrightarrow \frac{1}{6} < l < \frac{2}{3} \Leftrightarrow l \in \emptyset \\0 < \frac{\pi }{2} + m2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < m < \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0\\0 < \pi + n2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < m < 0 \Leftrightarrow n \in \emptyset \end{array} \right.\)

Vậy có 2 nghiệm thõa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.