Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \( - {x^3} + 3mx - 2 < -

Câu hỏi số 289388:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \( - {x^3} + 3mx - 2 < - \frac{1}{{{x^3}}}\) nghiệm đúng với mọi \(x \ge 1\)?

A. \(m \in \left( { - \infty ;1} \right)\)

B. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{2}{3}} \right)\)

C. \(m \in \left( {\frac{2}{3};1} \right)\)

D. \(m \in \left[ {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:289388

Phương pháp giải

Cô lâp m, đưa bất phương trình về dạng \(m < f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Rightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\).

Giải chi tiết

\( - {x^3} + 3mx - 2 < - \frac{1}{{{x^3}}} \Leftrightarrow 3mx < {x^3} + 2 - \frac{1}{{{x^3}}}\,\,\,\forall x \ge 1 \Leftrightarrow 3m < {x^2} + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^4}}}\,\,\forall x \ge 1\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^4}}}\) với mọi \(x \ge 1\) \( \Leftrightarrow 3m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right)\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = 2x - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{4}{{{x^5}}} = \frac{{2{x^6} - 2{x^3} + 4}}{{{x^5}}} = \frac{{2{{\left( {{x^3} - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{2}}}{{{x^5}}} > 0\,\,\forall x \ge 1\)

\( \Rightarrow 3m < f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow m < \frac{2}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.