Tổng các nghiệm của phương trình \({\sin ^3}x - \sqrt 3 {\cos ^3}x = \sin x{\cos ^2}x - \sqrt 3 {\sin

Câu hỏi số 290126:

Vận dụng

Tổng các nghiệm của phương trình \({\sin ^3}x - \sqrt 3 {\cos ^3}x = \sin x{\cos ^2}x - \sqrt 3 {\sin ^2}x\cos x\) trên \(\left[ {0;2\pi } \right]\) là?

A. \(\frac{{17\pi }}{3}\)

B. \(6\pi \)

C. \(\frac{{19\pi }}{3}\)

D. \(\frac{{20\pi }}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:290126

Phương pháp giải

+) Đây là dạng phương trình đẳng cấp bậc 3 giữa sinx và cosx, ta có thể giải bằng đưa về dạng tích.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;{\sin ^3}x - \sqrt 3 {\cos ^3}x = \sin x{\cos ^2}x - \sqrt 3 {\sin ^2}x\cos x\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) + \sqrt 3 \cos x\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\left( { - \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \sqrt 3 \cos x = 0\\\cos 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - \sqrt 3 \\2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + m\pi \\x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\left( {m,\;k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {0;\;2\pi } \right]\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le - \frac{\pi }{3} + m\pi \le 2\pi \Leftrightarrow \frac{1}{3} < m < \frac{7}{3} \Leftrightarrow m \in \left\{ {1;\;2} \right\}\\0 \le \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2} \le 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < k < \frac{7}{2} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;3} \right\}\end{array} \right.\)

Tổng các nghiệm thuộc \(\left[ {0;\;2\pi } \right]\) là:

\(\left( { - \frac{\pi }{3} + \pi } \right) + \left( { - \frac{\pi }{3} + 2\pi } \right) + \left( {\frac{\pi }{4}} \right) + \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2}} \right) + \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{2\pi }}{2}} \right) + \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \frac{{19\pi }}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.