Phương trình \(\tan x - \sqrt 3 \cot x - \sin x + \sqrt 3 \cos x + 1 - \sqrt 3 = 0\,\,\)có bao nhiêu nghiệm

Câu hỏi số 290125:

Vận dụng

Phương trình \(\tan x - \sqrt 3 \cot x - \sin x + \sqrt 3 \cos x + 1 - \sqrt 3 = 0\,\,\)có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\)?

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:290125

Phương pháp giải

+) Biến đổi về \(\sin x\) và \(\cos x\), đưa về phương trình tích

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \tan x - \sin x - \sqrt 3 (\cot x - \cos x) + 1 - \sqrt 3 = 0\,\,\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\cos x}}(\sin x - \sin x\cos x + \cos x) - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}}(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{\cos x}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}}} \right)(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,\end{array}\)

Giải chi tiết

Điều kiện \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Phương trình:\( \Leftrightarrow \tan x - \sin x - \sqrt 3 (\cot x - \cos x) + 1 - \sqrt 3 = 0\,\,\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{\cos x}}(\sin x - \sin x\cos x + \cos x) - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}}(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{\cos x}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}}} \right)(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{{\cos x}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\sin x - \sin x.\cos x + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\end{array} \right.\end{array}\)

Giải (1)\( \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\,\,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

Giải (2): Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x)\,\,\,\,\,\,|t| \le \sqrt 2 \) (*)

Suy ra \(\sin x.\,\,\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\) .

Phương trình (2) trở thành \(t - \frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 - \sqrt 2 \\t = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện (*) thì \(t = 1 + \sqrt 2 \) bị loại

Với \(t = 1 - \sqrt 2 \) ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\, = 1 - \sqrt 2 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \cos \alpha \,\,\,\,\,\left( {\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right)} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{4} - x = \alpha \, + l2\pi \\\frac{\pi }{4} - x = - \alpha \, + m2\pi \end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + \alpha \, + l2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} - \alpha \, + m2\pi \end{array} \right.\,\,\;\left( {\alpha \in \mathbb{R},\,\,\,l,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Các nghiệm của phương trình (1) và (2) đều thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy phương trình có ba họ nghiệm

Ta có phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {0;\;\pi } \right]\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{3} + k\pi < \pi \Leftrightarrow k = 0\\0 < - \frac{\pi }{4} + \alpha \, + l2\pi < \pi \Leftrightarrow l = 0\\0 < - \frac{\pi }{4} - \alpha \, + m2\pi < \pi \Leftrightarrow m \in \emptyset \end{array} \right.\)

Phương trình có 2 nghiệm thõa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.