Phương trình \(\tan x - \sqrt 3 \cot x - \sin x + \sqrt 3 \cos x + 1 - \sqrt 3 = 0\,\,\)có bao nhiêu nghiệm

Câu hỏi số 290125:

Vận dụng

Phương trình \(\tan x - \sqrt 3 \cot x - \sin x + \sqrt 3 \cos x + 1 - \sqrt 3 = 0\,\,\)có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\)?

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:290125

Phương pháp giải

+) Biến đổi về \(\sin x\) và \(\cos x\), đưa về phương trình tích

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \tan x - \sin x - \sqrt 3 (\cot x - \cos x) + 1 - \sqrt 3 = 0\,\,\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\cos x}}(\sin x - \sin x\cos x + \cos x) - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}}(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{\cos x}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}}} \right)(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,\end{array}\)

Giải chi tiết

Điều kiện \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Phương trình:\( \Leftrightarrow \tan x - \sin x - \sqrt 3 (\cot x - \cos x) + 1 - \sqrt 3 = 0\,\,\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{\cos x}}(\sin x - \sin x\cos x + \cos x) - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}}(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{\cos x}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}}} \right)(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{{\cos x}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\sin x - \sin x.\cos x + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\end{array} \right.\end{array}\)

Giải (1)\( \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\,\,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

Giải (2): Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x)\,\,\,\,\,\,|t| \le \sqrt 2 \) (*)

Suy ra \(\sin x.\,\,\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\) .

Phương trình (2) trở thành \(t - \frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 - \sqrt 2 \\t = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện (*) thì \(t = 1 + \sqrt 2 \) bị loại

Với \(t = 1 - \sqrt 2 \) ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\, = 1 - \sqrt 2 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \cos \alpha \,\,\,\,\,\left( {\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right)} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{4} - x = \alpha \, + l2\pi \\\frac{\pi }{4} - x = - \alpha \, + m2\pi \end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + \alpha \, + l2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} - \alpha \, + m2\pi \end{array} \right.\,\,\;\left( {\alpha \in \mathbb{R},\,\,\,l,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Các nghiệm của phương trình (1) và (2) đều thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy phương trình có ba họ nghiệm

Ta có phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {0;\;\pi } \right]\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{3} + k\pi < \pi \Leftrightarrow k = 0\\0 < - \frac{\pi }{4} + \alpha \, + l2\pi < \pi \Leftrightarrow l = 0\\0 < - \frac{\pi }{4} - \alpha \, + m2\pi < \pi \Leftrightarrow m \in \emptyset \end{array} \right.\)

Phương trình có 2 nghiệm thõa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.