Cho \({x_0}\) là nghiệm của phương trình \(\sin x\cos x + 2\left( {\sin x + \cos x} \right) = 2\) thì giá

Câu hỏi số 291934:

Vận dụng

Cho \({x_0}\) là nghiệm của phương trình \(\sin x\cos x + 2\left( {\sin x + \cos x} \right) = 2\) thì giá trị của \(P = \sin \left( {{x_0} + \frac{\pi }{4}} \right)\) là

A. \(P = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(P = 1\)

C. \(P = \frac{1}{2}\)

D. \(P = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:291934

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ \(t = \sin x + \cos x\)

Biến đổi \(sin2x = {t^2} - 1.\)

Thay t vào phương trình : đưa về phương trình bậc 2 ẩn t. Giải phương trình tìm ẩn t.

Tính \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right),\;\;t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right].\)

Ta có: \({t^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x.\cos x = 1 + 2\sin x.\cos x \Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}.\)

Phương trình đã cho trở thành:

\(\frac{{{t^2} - 1}}{2} + 2t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\;\left( {tm} \right)\\t = - 5 \notin \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\end{array} \right.\)

Từ đó ta có \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Như vậy \(P = \sin \left( {{x_0} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.