Phương trình \(\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} = m\) có nghiệm khi và chỉ

Câu hỏi số 292604:

Vận dụng cao

Phương trình \(\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} = m\) có nghiệm khi và chỉ khi

A. \(\sqrt 2 \le m \le 2\)

B. \(1 \le m \le \sqrt {4 + 2\sqrt 2 } \)

C. \(1 \le m \le 2\)

D. \(0 \le m \le 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:292604

Phương pháp giải

+) Bình phương biểu thức ban đầu

+) Đưa \(\sin x + \cos x\);\(\sin x\cos x\) về cùng 1 ẩn.

+) Biện luận theo ẩn t.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = R\).

Đặt \(P = \sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} \Rightarrow {P^2} = 2 + \sin x + \cos x + 2\sqrt {1 + \sin x + \cos x + \sin x\cos x} \).

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2} \Rightarrow t \in \left[ { - \sqrt 2 \,;\,\sqrt 2 } \right]\).

Khi đó \({t^2} = 1 + 2\sin x\cos x\).

Vậy \({P^2} = 2 + t + 2\sqrt {1 + t + \frac{{{t^2} - 1}}{2}} \)\( = 2 + t + \sqrt 2 \left| {t + 1} \right|\).

TH1: \( - \sqrt 2 \le t \le - 1\) thì \({P^2} = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t + 2 - \sqrt 2 \). Khi đó \(1 \le {P^2} \le 4 - 2\sqrt 2 \).

TH2: \( - 1 \le t \le \sqrt 2 \) thì \({P^2} = \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t + 2 + \sqrt 2 \). Khi đó \(1 \le {P^2} \le 4 + 2\sqrt 2 \).

Vậy \(1 \le {P^2} \le 4 + 2\sqrt 2 \) mà \(P \ge 0\) nên \(1 \le {P^2} \le 4 + 2\sqrt 2 \Rightarrow 1 \le P \le \sqrt {4 + 2\sqrt 2 } \).

Phương trình có nghiệm khi \(1 \le m \le \sqrt {4 + 2\sqrt 2 } \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.