Gọi \({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}},\,\forall n =

Câu hỏi số 293030:

Vận dụng

Gọi \({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}},\,\forall n = 1;\;2;\;3.....\) thì kết quả nào sau đây là đúng

A. \({S_n} = \frac{{n - 1}}{n}\)

B. \({S_n} = \frac{n}{{n + 1}}\)

C. \({S_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\)

D. \({S_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:293030

Phương pháp giải

Dự đoán công thức tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết

Ta thấy: \({S_1} = \frac{1}{2} = \frac{1}{{1 + 1}}\,\,;\,\,\,\,{S_2} = \frac{2}{3} = \frac{2}{{2 + 1}};\;{S_3} = \frac{3}{4} = \frac{3}{{3 + 1}}\,\,;\,\,\,\,{S_4} = \frac{4}{5} = \frac{4}{{4 + 1}}.\)

\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({S_n} = \frac{n}{{n + 1}}\,\,\,\left( 1 \right)\)

*) Chứng minh (1) bằng quy nạp:

+ Bước 1: Với \(n = 1 \Rightarrow {S_1} = \frac{1}{{1.2}} = \frac{1}{2}\) (luôn đúng)

+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với 1 số tự nhiên bất kỳ \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right)\) ta có:

\({S_k} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{k}{{k + 1}}\) (giả thiết quy nạp)

+ Bước 3: Ta phải chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh:

\({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{k + 1 + 1}} = \frac{{k + 1}}{{k + 2}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \({S_{k + 1}} = {S_k} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right).\left( {k + 2} \right)}} = \frac{k}{{k + 1}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{k\left( {k + 2} \right) + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{{k^2} + 2k + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{k + 1}}{{k + 2}} = VP\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) luôn đúng \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) được chứng minh.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.