Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, \(\Delta {\rm{ }}SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, \(\Delta {\rm{ }}SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\) có diện tích \(84\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BD\) là
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Xác định tâm và bán kính mặt cầu, từ đó tính toán độ dài của khối chóp và khoảng cách cần tìm.
Đặt \(a\)(cm) là độ dài các cạnh của hình vuông ABCD và tam giác đều SAB.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, G là trọng tâm tam giác SAB, N là trung điểm của AB
Tam giác SAB đều \( \Rightarrow SN \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SN \bot NO\)
Dựng hình chữ nhật \(NOIG\), khi đó:
\(IO//GN \Rightarrow IO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow IA = IB = IC = ID\)
Mặt khác \(IG//NO\) mà \(NO \bot \left( {SAB} \right),\,\,\left( {do\,\,NO \bot AB,\,\,NO \bot SN} \right)\)
\(GI \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow IS = IA = IB\) (do G là trọng tâm và cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều SAB)
\( \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD, mặt cầu này có bán kính: \(R = IA = \sqrt {I{G^2} + A{G^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{3}} = \sqrt {\frac{7}{{12}}} .a\)
Diện tích mặt cầu: \(4\pi {R^2} = 4\pi .\frac{7}{{12}}{a^2} = \frac{7}{3}\pi {a^2} = 84\pi \,\, \Rightarrow {a^2} = 36 \Leftrightarrow a = 6\,\,(cm)\)
*) Gọi M là trung điểm của SC.
Tính \({V_{S.ABCD}}\), từ đó suy ra thể tích khối chóp S.BMD:
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SN.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} = \frac{{{6^3}\sqrt 3 }}{6} = 36\sqrt 3 \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)
\(\frac{{{V_{S.BMD}}}}{{{V_{S.BCD}}}} = \frac{{SM}}{{SC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{S.BMD}} = \frac{1}{2}{V_{S.BCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{4}.36\sqrt 3 = 9\sqrt 3 \left( {c{m^3}} \right)\)
*) Tính diện tích tam giác BMD:
Ta có: \(MO = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\), \(OB = OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông cân tại B.
Có \(SB = BC = a \Rightarrow BM = \frac{{SC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \Delta BOM\)cân tại B
Gọi H là trung điểm của OM \( \Rightarrow BH = \sqrt {B{O^2} - O{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}a\)
\({S_{BOM}} = \frac{1}{2}.BH.OM = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 7 }}{4}a.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{{16}} \Rightarrow {S_{BDM}} = 2{S_{\Delta BOM}} = 2.\frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{{16}} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{8} = \frac{{{6^2}\sqrt 7 }}{8} = \frac{{9\sqrt 7 }}{2}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
*) Ta có: \(MO//SA \Rightarrow SA//\left( {BMD} \right) \Rightarrow d\left( {SA;BD} \right) = d\left( {SA;\left( {BMD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BMD} \right)} \right)\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}AC \cap \left( {BMD} \right) = O\\OA = OC\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {A;\left( {BMD} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {BMD} \right)} \right)\)
Ta có: \({V_{M.CBD}} = \frac{1}{3}.d\left( {C;\left( {BMD} \right)} \right).{S_{BMD}} \Rightarrow \frac{1}{3}.d\left( {C;\left( {BMD} \right)} \right).\frac{{9\sqrt 7 }}{2} = 9\sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow d\left( {C;\left( {BMD} \right)} \right) = \frac{{6\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} = \frac{{6\sqrt {21} }}{7}\,\,\left( {cm} \right) \Rightarrow d\left( {SA;BD} \right) = \frac{{6\sqrt {21} }}{7}\,\,cm\).
Chọn: D
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
