Số nghiệm của phương trình \(2{\cos ^2}x + \cos \left( {\frac{{5\pi }}{2} - x} \right) + 1 = 0\) trên

Câu hỏi số 293265:

Vận dụng

Số nghiệm của phương trình \(2{\cos ^2}x + \cos \left( {\frac{{5\pi }}{2} - x} \right) + 1 = 0\) trên \(\left[ {0;100\pi } \right]\) là:

A. 50

B. 25

C. 100

D. 200

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:293265

Phương pháp giải

- Giải phương trình nhờ công thức: \(\cos \left( {\frac{{5\pi }}{2} - x} \right) = \cos \left( {2\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\)

- Tìm số nghiệm thõa mãn bằng xác định số nguyên k.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,2{\cos ^2}x + \cos \left( {\frac{{5\pi }}{2} - x} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \,2{\cos ^2}x + \sin x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + \sin x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - \sin x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} \right)\left( {2\sin x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin x = - 1\;\;\;\;\left( {\sin x = \frac{3}{2}\;\;ktm} \right)\\ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\end{array}\)

Phương trình có nghiệm \(x \in \left[ {0;\;100\pi } \right]\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 \le - \frac{\pi }{2} + k2\pi \le 100\pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{{201}}{4} \Leftrightarrow 0,25 \le k \le 50,25\\ \Rightarrow k \in \left\{ {1;\;2;\;3;.......;\;50} \right\}.\end{array}\).

Vậy có 50 nghiệm thõa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.