Tìm \(m\) để hệ phương trình sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y} =

Câu hỏi số 295896:

Vận dụng cao

Tìm \(m\) để hệ phương trình sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y} = 5\\{x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} + {y^3} + \frac{1}{{{y^3}}} = 15m - 10\end{array} \right.\)

A. \(m \ge 22\)

B. \(m \le 22\)

C. \(m \ge 11\)

D. \(m \le 11\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:295896

Phương pháp giải

Đặt \(x + \frac{1}{x} = a;y + \frac{1}{y} = b\) tìm điều kiện của a , b đưa về hệ phương trình đối xứng loại 1

Cách giải hệ đối xứng loại 1 :

Bước 1: Biến đổi, làm xuất hiện các đại lượng tổng và tích trong hệ phương trình. Tức là đưa hệ phương trình về dạng: \(\left( I \right)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{g_1}\left( {a \pm b;ab} \right) = 0\\{g_2}\left( {a \pm b;ab} \right) = 0\end{array} \right.\)

Bước 2: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a \pm b = S\\ab = P\end{array} \right.\). Thế vào hệ phương trình (I), giải hệ phương trình đã cho tìm S, P.

Bước 3: Giải bằng phương pháp thế hoặc định lí Vi-ét đảo để tìm nghiệm \(\left( {a;b} \right)\).

Từ đó tìm điểu kiện của m để phương trình có nghiệm thỏa mãn .

Giải chi tiết

Điều kiện \(x;y \ne 0\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y} = 5\\{x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} + {y^3} + \frac{1}{{{y^3}}} = 15m - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y} = 5\\{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} - 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + {\left( {y + \frac{1}{y}} \right)^3} - 3\left( {y + \frac{1}{y}} \right) = 15m - 10\end{array} \right.\)

Đặt \(x + \frac{1}{x} = a;y + \frac{1}{y} = b\)

Ta có \(x + \frac{1}{x} = a \Leftrightarrow {x^2} - ax + 1 = 0\) có nghiệm của phương trình có nghiệm \(x \ne 0\) khi

\(\left\{ \begin{array}{l}f(0) \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\\{a^2} - 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left| a \right| \ge 2\)

Tương tự \(y + \frac{1}{y} = b\)có nghiệm khi \(\left| b \right| \ge 2\)

\(\begin{array}{l}x + \frac{1}{x} = a;y + \frac{1}{y} = b\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 5\\{a^3} - 3a + {b^3} - 3b = 15m - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\{a^3} - 3a + {(5 - a)^3} - 3(5 - a) = 15m - 10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\{a^3} - 3a + {(5 - a)^3} - 3(5 - a) = 15m - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\120 - 75a + 15{a^2} = 15m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\8 - 5a + {a^2} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\{a^2} - 5a + 8 - m = 0(*)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 5a + 8 - m = 0\\\left| b \right| = \left| {5 - a} \right| \ge 2\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\left| b \right| = \left| {5 - a} \right| \ge 2\\\left| a \right| \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a \ge 2\\a \le - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}a \le 3\\a \ge 7\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge 7\\a \le - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow (a - 7)(a + 2) \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} - 5a + 8 \ge 22\)

Phương trình \({a^2} - 5a + 8 - m = 0 \Leftrightarrow {a^2} - 5a + 8 = m\) : có nghiệm a thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\left| b \right| = \left| {5 - a} \right| \ge 2\\\left| a \right| \ge 2\end{array} \right.\)

Khi \({a^2} - 5a + 8 \ge 22 \Leftrightarrow m \ge 22\)

Vậy \(m \ge 22\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link