Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\) cạnh \(a\). Biết rằng tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(2M{A^2} +

Câu hỏi số 296022:

Vận dụng

Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\) cạnh \(a\). Biết rằng tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(2M{A^2} + M{B^2} + 2M{C^2} + M{D^2} = 9{a^2}\) là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó là:

A. \(R = 2a\).

B. \(R = a\).

C. \(R = a\sqrt 2 \).

D. \(R = 3a\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:296022

Phương pháp giải

Sử dụng công thức ba điểm.

Giải chi tiết

Ta có: \(2M{A^2} + M{B^2} + 2M{C^2} + M{D^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + 2{\overrightarrow {MC} ^2} + {\overrightarrow {MD} ^2}\)

\( = 2{\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} } \right)^2}\)

\( = 2M{O^2} + 4\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OA} + 2O{A^2} + M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OB} + O{B^2} + 2M{O^2} + 4\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OC} + 2O{C^2} + M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OD} + O{D^2}\)

\( = 6M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} .\left( {2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) + 2O{A^2} + O{B^2} + 2O{C^2} + O{D^2}\)

\( = 6M{O^2} + 2O{A^2} + O{B^2} + 2O{C^2} + O{D^2}\), (do \(2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0 \))

Mà \(2M{A^2} + M{B^2} + 2M{C^2} + M{D^2} = 9{a^2}\)\( \Rightarrow 6M{O^2} + 2O{A^2} + O{B^2} + 2O{C^2} + O{D^2} = 9{a^2}\) (*)

\(ABCD\) là hình vuông tâm O, cạnh a \( \Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)

Khi đó, (*) \( \Leftrightarrow 6M{O^2} + 6.\dfrac{{{a^2}}}{2} = 9{a^2} \Leftrightarrow 6M{O^2} = 6{a^2} \Leftrightarrow MO = a\)

Như vậy, tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(2M{A^2} + M{B^2} + 2M{C^2} + M{D^2} = 9{a^2}\) là một đường tròn tâm O bán kính là \(R = a\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.