Cho các số thực x, y thỏa mãn: \(x + y - 1 = \sqrt {2x - 4} + \sqrt {y + 1} \). Tìm giá trị lớn nhất

Câu hỏi số 296903:

Vận dụng cao

Cho các số thực x, y thỏa mãn: \(x + y - 1 = \sqrt {2x - 4} + \sqrt {y + 1} \). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(S = 2016{\left( {x + y} \right)^2} - 2017\sqrt {5 - x - y} + \dfrac{{2018}}{{\sqrt {x + y} }}\).

A. \(\begin{array}{l}
{S_{\min }} = -2\\
{S_{\max }} = 31248
\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}
{S_{\min }} = - 31248\\
{S_{\max }} =0
\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}
{S_{\min }} = 0\\
{S_{\max }} = 31248
\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}
{S_{\min }} = - 31248\\
{S_{\max }} =2
\end{array}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:296903

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\), đẳng thức xảy ra khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).

Giải chi tiết

Ta có:

\({\left( {\sqrt {2x - 4} + \sqrt {y + 1} } \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + \sqrt {y + 1} } \right)^2} \le \left( {2 + 1} \right)\left( {x - 2 + y + 1} \right) = 3\left( {x + y - 1} \right),\,\,\forall x \ge 2,y \ge - 1\)\( \Rightarrow \sqrt {2x - 4} + \sqrt {y + 1} \le \sqrt {3\left( {x + y - 1} \right)} ,\,\,\forall x \ge 2,y \ge - 1\)

Theo đề bài: \(x + y - 1 = \sqrt {2x - 4} + \sqrt {y + 1} \Rightarrow x + y - 1 \le \sqrt {3\left( {x + y - 1} \right)} \Leftrightarrow 0 \le x + y - 1 \le 3 \Leftrightarrow 1 \le x + y \le 4\)

Đặt \(\sqrt {x + y} = t,\,\,t \in \left[ {1;2} \right]\), xét hàm số \(f\left( t \right) = 2016{t^4} - 2017\sqrt {5 - {t^2}} + \dfrac{{2018}}{t},\,t \in \left[ {1;2} \right]\)

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = 8064{t^3} + \dfrac{{2017t}}{{\sqrt {5 - {t^2}} }} - \dfrac{{2018}}{{{t^2}}},\,t \in \left[ {1;2} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{8064{t^5} - 2018}}{{{t^2}}} + \dfrac{{2017t}}{{\sqrt {5 - {t^2}} }} > 0,\forall t \in \left[ {1;2} \right]\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {1;2} \right]\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {1;2} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 0\\\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {1;2} \right]} f\left( t \right) = f\left( 2 \right) = 31248\end{array} \right.\)

Vậy \({S_{\min }} = 0\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x + y - 1 = \sqrt {2x - 4} + \sqrt {y + 1} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\\sqrt {2x - 4} + \sqrt {y + 1} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1\end{array} \right.\)

\({S_{\max }} = 31248\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x + y - 1 = \sqrt {2x - 4} + \sqrt {y + 1} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\\sqrt {2x - 4} + \sqrt {y + 1} = 1\end{array} \right.\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - y\\\sqrt { - 2y} + \sqrt {y + 1} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - y\\ - 2y + 2\sqrt { - 2y\left( {y + 1} \right)} + y + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - y\\2\sqrt { - 2y\left( {y + 1} \right)} = y\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - y\\ - 8{y^2} - 8y = {y^2}\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - y\\\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = - \dfrac{8}{9}\end{array} \right.\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - y\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right..\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.