Cho tứ diện ABCD, có \(AB = CD = 8,\,AC = BD = 10\) và \(AD = BC = 12\). Tính diện tích mặt cầu \(\left(

Câu hỏi số 296907:

Vận dụng

Cho tứ diện ABCD, có \(AB = CD = 8,\,AC = BD = 10\) và \(AD = BC = 12\). Tính diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) ngoại tiếp tứ diện ABCD.

A. \(145\pi \)

B. \(154\pi \)

C. \(77\pi \)

D. \(155\pi \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:296907

Phương pháp giải

+) Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần đều là trung điểm của đường thẳng nối trung điểm của 2 cạnh đối của tứ diện.

+) Sử dụng công thức tính độ dài trung tuyến \(m_a^2 = \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\).

+) Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là \(S = 4\pi {R^2}\).

Giải chi tiết

+) Xác định tâm mặt cầu \(\left( S \right)\):

Gọi E, M theo thứ tự là trung điểm của đoạn AB, CD. Điểm O là trung điểm của EM.

Ta có: \(\Delta ABD = \Delta BAC\left( {c.c.c} \right)\), \(DE,CE\) là 2 đường trung tuyến tương ứng của 2 tam giác \( \Rightarrow DE = CE\)\( \Rightarrow \Delta DEC\) cân tại \(E\)

Mà \(EM\) là trung tuyến \( \Rightarrow EM\) là trung trực của đoạn CD \( \Rightarrow OD = OC\)

Tương tự, chứng minh được: \(EM\) là trung trực của đoạn AB \( \Rightarrow OA = OB\)

Lại có, \(\Delta AEO = \Delta CMO\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow OA = OC\)

\( \Rightarrow OA = OB = OC = OD \Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

+) Tính diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\):

\(DE\) là trung tuyến của \(\Delta ABD \Rightarrow D{E^2} = \dfrac{{2\left( {D{B^2} + D{A^2}} \right) - A{B^2}}}{4} = \dfrac{{2\left( {{{10}^2} + {{12}^2}} \right) - {8^2}}}{4} = 106\)

\(\Delta EMD\) vuông tại M \( \Rightarrow EM = \sqrt {D{E^2} - D{M^2}} = \sqrt {106 - {4^2}} = 3\sqrt {10} \Rightarrow OM = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{2}\)

\(\Delta OMD\) vuông tại M \( \Rightarrow OD = \sqrt {O{M^2} + D{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3\sqrt {10} }}{2}} \right)}^2} + {4^2}} = \dfrac{{\sqrt {154} }}{2} \Rightarrow R = \dfrac{{\sqrt {154} }}{2}\)

Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) ngoại tiếp tứ diện ABCD là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{\sqrt {154} }}{2}} \right)^2} = 154\pi \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.