Cho tam giác\(ABC\) đều cạnh \(a\), đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi số 301539:

Vận dụng cao

Cho tam giác\(ABC\) đều cạnh \(a\), đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Gọi \(S\) là điểm thay đổi trên đường thẳng \(d\), \(H\) là trực tâm tam giác \(SBC\). Biết rằng khi điểm \(S\) thay đổi trên đường thẳng \(d\) thì điểm \(H\) nằm trên đường \(\left( C \right)\). Trong số các mặt cầu chứa đường \(\left( C \right)\), bán kính mặt cầu nhỏ nhất là

A. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

B. \(a\).

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{{12}}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:301539

Phương pháp giải

Gọi I là trực tâm tam giác ABC, chứng minh \(IH \bot \left( {SBC} \right)\).

Giải chi tiết

Gọi I là trực tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM \Rightarrow H \in SM;\,\,BC \bot IH\).

Ta có \[(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot SC\\BI \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {BIH} \right) \Rightarrow SC \bot IH\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}IH \bot BC\\IH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow IH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow IH \bot SM \Rightarrow \widehat {IHM} = {90^0}\). Do \(\Delta ABC\) cố định \( \Rightarrow I,M\) cố định \( \Rightarrow \) H thuộc đường tròn đường kinh IM. Khi đó mặt cầu chứa đường tròn đường kính IM có bán kính nhỏ nhất bằng \(\frac{{IM}}{2}\).

Xét tam giác ABC đều \( \Rightarrow \) trực tâm I đồng thời là trọng tâm \( \Rightarrow IM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Vậy \({R_{\min }} = \frac{{IM}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.