Cho tam giác\(ABC\) đều cạnh \(a\), đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Gọi \(S\) là điểm thay đổi trên đường thẳng \(d\), \(H\) là trực tâm tam giác \(SBC\). Biết rằng khi điểm \(S\) thay đổi trên đường thẳng \(d\) thì điểm \(H\) nằm trên đường \(\left( C \right)\). Trong số các mặt cầu chứa đường \(\left( C \right)\), bán kính mặt cầu nhỏ nhất là

Câu 301539: Cho tam giác\(ABC\) đều cạnh \(a\), đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Gọi \(S\) là điểm thay đổi trên đường thẳng \(d\), \(H\) là trực tâm tam giác \(SBC\). Biết rằng khi điểm \(S\) thay đổi trên đường thẳng \(d\) thì điểm \(H\) nằm trên đường \(\left( C \right)\). Trong số các mặt cầu chứa đường \(\left( C \right)\), bán kính mặt cầu nhỏ nhất là

A. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

B. \(a\).

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{{12}}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Câu hỏi : 301539

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Gọi I là trực tâm tam giác ABC, chứng minh \(IH \bot \left( {SBC} \right)\).

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi I là trực tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM \Rightarrow H \in SM;\,\,BC \bot IH\).

Ta có \[(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot SC\\BI \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {BIH} \right) \Rightarrow SC \bot IH\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}IH \bot BC\\IH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow IH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow IH \bot SM \Rightarrow \widehat {IHM} = {90^0}\). Do \(\Delta ABC\) cố định \( \Rightarrow I,M\) cố định \( \Rightarrow \) H thuộc đường tròn đường kinh IM. Khi đó mặt cầu chứa đường tròn đường kính IM có bán kính nhỏ nhất bằng \(\frac{{IM}}{2}\).

Xét tam giác ABC đều \( \Rightarrow \) trực tâm I đồng thời là trọng tâm \( \Rightarrow IM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Vậy \({R_{\min }} = \frac{{IM}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{12}}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.