Ba cầu thủ sút phạt đến 11m, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là

Câu hỏi số 302628:

Vận dụng cao

Ba cầu thủ sút phạt đến 11m, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là \(x\), \(y\) và \(0,6\) (với \(x > y\)). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là \(0,976\) và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi ban là \(0,336\). Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn.

A. \(P(C) = 0,452\)

B. \(P(C) = 0,435\)

C. \(P(C) = 0,4525\)

D. \(P(C) = 0,4245\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302628

Phương pháp giải

Đây là bài toán ngược :

Phương pháp : xây dựng được phương trình từ đó giải xác suât ban đầu

Sử dụng tính chất nhân xác suất khi \({A_1},{A_2}....{A_n}\)là các biến cố độc lập nhau ta có công thức nhân xác suất :

\(P\left( {{A_1} \cap {A_2}.... \cap {A_n}} \right) = P({A_1}).P\left( {{A_2}} \right)...P\left( {{A_n}} \right)\)

Giải chi tiết

Gọi \({A_i}\) là biến cố “người thứ \(i\) ghi bàn” với \(i = 1;\;2;\;3.\)

Ta có các \({A_i}\) độc lập với nhau và \(P\left( {{A_1}} \right) = x,{\rm{ }}P\left( {{A_2}} \right) = y,{\rm{ }}P\left( {{A_3}} \right) = 0,6\).

Gọi A là biến cố: “ Có ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn”

B: “ Cả ba cầu thủ đều ghi bàn”

C: “Có đúng hai cầu thủ ghi bàn”

Ít nhất 1 trong 3 cầu thử ghi bàn : lấy tổng số trường hợp trừ đi trường hợp tất cả đều không ghi bàn :

Ta có: số TH tất cả các cầu thủ không ghi bàn : \(\overline A = \overline {{A_1}} .\overline {{A_2}} .\overline {{A_3}} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right).P\left( {\overline {{A_2}} } \right).P\left( {\overline {{A_3}} } \right) = 0,4(1 - x)(1 - y)\)

Nên Ít nhất 1 trong 3 cầu thủ ghi bàn là : \(P(A) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,4(1 - x)(1 - y) = 0,976\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right) = \frac{3}{{50}} \Leftrightarrow xy - x - y = - \frac{{47}}{{50}}\) (1).

Tương tự: cả 3 cầu thủ ghi bàn :\(B = {A_1}.{A_2}.{A_3}\), suy ra:

\(P\left( B \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}} \right).P\left( {{A_3}} \right) = 0,6xy = 0,336\) hay là \(xy = \frac{{14}}{{25}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}xy = \frac{{14}}{{25}}\\x + y = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{3}{2} - x\\{x^2} - \frac{3}{2}x + \frac{{14}}{{25}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0,8\\y = 0,7\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0,7\\y = 0,8\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Theo giả thiết ta có \(x > y \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,8\\y = 0,7\end{array} \right..\)

Ta có: TH có đúng 2 cầu thủ ghi bàn :\(C = \overline {{A_1}} {A_2}{A_3} + {A_1}\overline {{A_2}} {A_3} + {A_1}{A_2}\overline {{A_3}} \)

Nên \(P(C) = (1 - x)y.0,6 + x(1 - y).0,6 + xy.0,4 = 0,452\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.