Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn \(x + y = 2\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = {x^3} + 3{x^2} + 3{y^2}

Câu hỏi số 302645:

Vận dụng

Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn \(x + y = 2\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = {x^3} + 3{x^2} + 3{y^2} - 3x - 5\) là

A. 9.

B. \( - 1\).

C. \( - 2\).

D. 7.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302645

Phương pháp giải

Khảo sát và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Giải chi tiết

Ta có: \(x,y > 0\,,\,\,x + y = 2 \Rightarrow y = 2 - x\,\,\left( {0 \le x \le 2} \right)\).

Khi đó: \(P = {x^3} + 3{x^2} + 3{y^2} - 3x - 5 = {x^3} + 3{x^2} + 3{\left( {2 - x} \right)^2} - 3x - 5 = {x^3} + 3{x^2} + 12 - 12x + 3{x^2} - 3x - 5\)

\( = {x^3} + 6{x^2} - 15x + 7\) với \(x \in \left[ {0;2} \right]\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 6{x^2} - 15x + 7\) trên \(\left[ {0;2} \right]\)ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 12x - 15\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 5\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), có \(f\left( 0 \right) = 7;\,\,f\left( 1 \right) = - 1;\,\,f\left( 2 \right) = 9\,\, \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \,f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = - 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là – 1, khi và chỉ khi \(x = y = 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.