Cho hàm số \(y = \dfrac{x}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Giá trị nhỏ nhất của tổng

Câu hỏi số 302658:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{x}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ điểm \(M \in \left( C \right)\) tới hai đường tiệm cận là:

A. \(2\sqrt 2 \).

B. \(3\).

C. \(1\).

D. \(2\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302658

Phương pháp giải

+) Gọi \(M \in \left( C \right) \Rightarrow M\left( {m;\dfrac{m}{{m - 1}}} \right),\,\left( {m \ne 1} \right)\).

+) Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

+) Tính khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận.

+) Áp dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN của tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Giải chi tiết

Dễ dàng nhận thấy đồ thị \(\left( C \right)\) có 2 đường tiệm cận: \(x = 1 \Leftrightarrow x - 1 = 0\,\,\left( {{d_1}} \right)\) và \(y = 1 \Leftrightarrow y - 1 = 0\,\,\left( {{d_2}} \right).\)

Lấy \(M \in \left( C \right) \Rightarrow M\left( {m;\dfrac{m}{{m - 1}}} \right),\,\left( {m \ne 1} \right)\).

Ta có \(d\left( {M;\left( {{d_1}} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {m - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {m - 1} \right|;\,\,d\left( {M;\left( {{d_2}} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\dfrac{m}{{m - 1}} - 1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{{\left| {m - 1} \right|}}\).

Khi đó: \(S = \left| {m - 1} \right| + \dfrac{1}{{\left| {m - 1} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {m - 1} \right|.\dfrac{1}{{\left| {m - 1} \right|}}} = 2\)

\( \Rightarrow {S_{\min }} = 2\) khi và chỉ khi \(\left| {m - 1} \right| = \dfrac{1}{{\left| {m - 1} \right|}} \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\) .

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.