Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển \(P\left( x \right) = x{(1 + x)^2} + {x^2}{(1 + x)^3} + {x^3}{(1 +

Câu hỏi số 303228:

Vận dụng

Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển \(P\left( x \right) = x{(1 + x)^2} + {x^2}{(1 + x)^3} + {x^3}{(1 + x)^4} + {x^4}{(1 + x)^5}\)

A. 8

B. 10

C. 12

D. 16

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:303228

Phương pháp giải

+) Tính tổng từng hệ số của các số hạng chứa \({x^4}\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}x{(1 + x)^2} = x\sum\limits_{k = 0}^3 {C_2^k{x^k}} = \sum\limits_{k = 0}^2 {C_2^k{x^{k + 1}}} {\rm{ (1)}}\\{x^2}{(1 + x)^3} = {x^2}\sum\limits_{m = 0}^2 {C_3^m{x^m}} = \sum\limits_{m = 0}^3 {C_3^m{x^{m + 2}}} {\rm{ (2)}}\\{x^3}{(1 + x)^4} = {x^3}\sum\limits_{n = 0}^4 {C_4^n{x^n}} = \sum\limits_{n = 0}^4 {C_4^n{x^{n + 3}}} {\rm{ (3)}}\\{x^4}{(1 + x)^5} = {x^4}\sum\limits_{p = 0}^5 {C_5^p{x^p}} = \sum\limits_{p = 0}^5 {C_3^p{x^{p + 4}}} {\rm{ (4)}}\end{array}\)

Để có số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển \(P\left( x \right)\) thì :

\(\left\{ \begin{array}{l}k + 1 = 4\\0 \le k \le 2\\m + 2 = 4\\0 \le m \le 3\\n + 3 = 4\\0 \le n \le 4\\p + 4 = 4\\0 \le p \le 5\\k,\;m,\;n,\;p \in \mathbb{N}\end{array} \right. \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}k \in \emptyset \\m = 2\\n = 1\\p = 0\end{array} \right..\)

Þ Hệ số chứa \({x^4}\) trong khai triển \(P\left( x \right)\) là :\(C_3^2 + C_4^1 + C_5^0\)= 8

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.