Tìm hệ số của \({x^8}\) trong khai triển \({\left( {{x^2} + 2} \right)^n},\) biết: \(A_n^3 - 8C_n^2 + C_n^1

Câu hỏi số 303229:

Vận dụng

Tìm hệ số của \({x^8}\) trong khai triển \({\left( {{x^2} + 2} \right)^n},\) biết: \(A_n^3 - 8C_n^2 + C_n^1 = 49\). Điều kiện \(n \ge 4.\)

A. 240

B. 250

C. 280

D. 200

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:303229

Phương pháp giải

+) Xác định \(n\) từ \(A_n^3 - 8C_n^2 + C_n^1 = 49.\)

+) Dựa vào công thức số hạng tổng quát để tìm hệ số của \({x^8}.\)

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {{x^2} + 2} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{2k}}{2^{n - k}}} .\)

Hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) là \(C_n^4{2^{n - 4}} \Leftrightarrow k = 4.\)

Theo đề bài ta có: \(A_n^3 - 8C_n^2 + C_n^1 = 49\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} - \frac{{8.n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} = 49\;\;\;\left( {n \ge 3} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {n-2} \right)\left( {n-1} \right)n-4\left( {n-1} \right)n + n = 49\\ \Leftrightarrow {n^3}-7{n^2} + 7n-49{\rm{ }} = {\rm{ }}0\\ \Leftrightarrow \left( {n-7} \right)\left( {{n^2} + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow n = 7\;\;\left( {tm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) hệ số của \({x^8}\) là \(C_7^4{2^3} = 280.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.