Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) . Mặt phẳng

Câu hỏi số 304365:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) . Mặt phẳng qua \(AB\) cắt \(SC\) và \(SD\) lần lượt tại \(M\) và \(N\) sao cho \(\dfrac{{SM}}{{SC}} = x\). Tìm \(x\) biết \(\dfrac{{{V_{S.ABMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{11}}{{200}}\)

A. \(0,1\)

B. \(0,3\)

C. \(0,2\)

D. \(0,25\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:304365

Phương pháp giải

Xác định mặt phẳng \(\left( {ABMN} \right)\) .

Sử dụng tỉ số thể tích: Cho chóp tam giác \(S.ABC\) có \(M \in SA;\,N \in SB;P \in SC\) .

Khi đó ta có \(\dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}}\)

Từ đó tính được tỉ số \(\dfrac{{V{ _{S.AMN}}}}{{{V_{S.ACD}}}};\,\dfrac{{{V_{S.AMB}}}}{{{V_{S.ACB}}}} \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.ABMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\) kết hợp điều kiện đề bài ta tìm được \(x.\)

Giải chi tiết

Lấy \(M \in SC\), qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(SD\) tại \(N\) ta được mặt phẳng \(\left( {ABMN} \right)\) thỏa mãn điều kiện.

Vì \(MN//AB \Rightarrow MN//CD\) nên theo định lý Ta-lét ta có \(\dfrac{{SM}}{{SC}} = \dfrac{{SN}}{{SD}} = x\)

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \({V_{S.ACB}} = {V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{2}V\)

Và \(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SM}}{{SC}}.\dfrac{{SN}}{{SD}} = {x^2};\,\,\dfrac{{{V_{S.AMB}}}}{{{V_{S.ACB}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SM}}{{SC}}.\dfrac{{SB}}{{SB}} = x\)

Suy ra \(\dfrac{{V{ & _{S.AMN}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = 2\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = {x^2} \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{{x^2}}}{2};\,\)

\(\dfrac{{{V_{S.AMB}}}}{{{V_{S.ACB}}}} = 2.\dfrac{{{V_{S.AMB}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = x \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AMB}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{x}{2}\)

Lại có \({V_{S.AMN}} + {V_{S.AMB}} = {V_{S.ABMN}}\) nên \(\dfrac{{V{ & _{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} + \dfrac{{{V_{S.AMB}}}}{{{V_{S.ABCB}}}} = \dfrac{{{V_{S.ABMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{{x^2} + x}}{2}\)

Theo giả thiết ta có \(\dfrac{{{V_{S.ABMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{11}}{{200}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2} + x}}{2} = \dfrac{{11}}{{200}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 1\\100{x^2} + 100x - 11 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0,1\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.