Xét số phức z thỏa mãn \(\dfrac{{z + 2}}{{z - 2i}}\) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z luôn thuộc một đường tròn cố đinh. Bán kính của đường tròn đó bằng:

Câu 304465: Xét số phức z thỏa mãn \(\dfrac{{z + 2}}{{z - 2i}}\) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z luôn thuộc một đường tròn cố đinh. Bán kính của đường tròn đó bằng:

A. \(1\)

B. \(\sqrt 2 \)

C. \(2\sqrt 2 \)

D. \(2\)

Câu hỏi : 304465

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Gọi \(z = a + bi\), đưa số phức \(\dfrac{{z + 2}}{{z - 2i}} = A + Bi\), khi đó \(\dfrac{{z + 2}}{{z - 2i}} = A + Bi\) là số thuần ảo \( \Leftrightarrow A = 0\). Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(z = a + bi\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{z + 2}}{{z - 2i}} = \dfrac{{\left( {a + 2} \right) + bi}}{{a + \left( {b - 2} \right)i}} = \dfrac{{\left[ {\left( {a + 2} \right) + bi} \right]\left[ {a - \left( {b - 2} \right)i} \right]}}{{\left[ {a + \left( {b - 2} \right)i} \right]\left[ {a - \left( {b - 2} \right)i} \right]}}\\ = \dfrac{{\left( {a + 2} \right)a - \left( {a + 2} \right)\left( {b - 2} \right)i + abi + b\left( {b - 2} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{a^2} + 2a + {b^2} - 2b}}{{{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}} - \dfrac{{\left( {a + 2} \right)\left( {b - 2} \right) - ab}}{{{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}}i\end{array}\)

Để số trên là số thuần ảo \( \Rightarrow \) có phần thực bằng 0 \( \Rightarrow {a^2} + 2a + {b^2} - 2b = 0\).

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm \(I\left( { - 1;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} - 0} = \sqrt 2 \).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.