Cho hàm số \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in R\), \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( x \right) =

Câu hỏi số 304530:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in R\), \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} f'\left( x \right)\) với mọi \(x \in R\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(4 < f\left( 3 \right) < 6\)

B. \(f\left( 3 \right) < 2\)

C. \(2 < f\left( 3 \right) < 4\)

D. \(f\left( 3 \right) > 6\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:304530

Phương pháp giải

+) Từ giải thiết suy ra \(\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\)

+) Sử dụng phương pháp nguyên hàm 2 vế.

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có: \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} f'\left( x \right)\) (*).

Do \(f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in R\) nên từ (*) ta có \(\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\).

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: \(\int\limits_{}^{} {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx} = \int\limits_{}^{} {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}dx} \)

\( \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right|dx = 2\sqrt {x + 1} + C \Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = 2\sqrt {x + 1} + C \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{2\sqrt {x + 1} + C}}\)

Ta có \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 1 = {e^{2 + C}} \Leftrightarrow 2 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 2\).

Do đó \(f\left( x \right) = {e^{2\sqrt {x + 1} - 2}} \Rightarrow f\left( 3 \right) = {e^2} \approx 7,4 > 6\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.