Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 18\\xy\left( {x + 1} \right)\left( {y +

Câu hỏi số 306226:

Vận dụng

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 18\\xy\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 72\end{array} \right.\).

A. \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 3; - 4} \right),\;\left( { - 4; - 3} \right);\;\left( {4;\;2} \right),\;\left( {2;\,4} \right),\;\left( {3;\;2} \right),\;\left( {2;\;3} \right),\;\left( {3;3} \right),\;\left( { - 3;\; - 3} \right)} \right\}.\)

B. \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {3;\,4} \right),\;\left( {4;\,3} \right);\;\left( { - 4;\;2} \right),\;\left( {2; - 4} \right),\;\left( { - 3;\; - 2} \right),\;\left( { - 2;\; - 3} \right),\;\left( {3; - 3} \right),\;\left( { - 3;\;3} \right)} \right\}.\)

C. \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {3;\,4} \right),\;\left( {4;\,3} \right);\;\left( { - 4;\;2} \right),\;\left( {2; - 4} \right),\;\left( {3;\;2} \right),\;\left( {2;\;3} \right),\;\left( { - 3; - 3} \right),\;\left( {3;\;3} \right)} \right\}.\)

D. \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 3; - 4} \right),\;\left( { - 4; - 3} \right);\;\left( { - 4;\;2} \right),\;\left( {2; - 4} \right),\;\left( {3;\;2} \right),\;\left( {2;\;3} \right),\;\left( {3; - 3} \right),\;\left( { - 3;\;3} \right)} \right\}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:306226

Phương pháp giải

+) Đặt \(x + y = a,xy = b\), ta được một hệ mới đơn giản hơn, giải bằng phép thế

+) Với hai số thực bất kì có \(x + y = a,\;\;xy = b\;\left( {{a^2} \ge 4b} \right)\) thì hai số \(x,\;y\) là hai nghiệm của phương trình: \({X^2} - aX + b = 0\)

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 18\\xy\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 72\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy + x + y = 18\\xy\left( {xy + x + y + 1} \right) = 72\end{array} \right.\)

Đặt \(x + y = a,\;\;xy = b\) ta có hệ đã cho trở thành:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + a - 2b = 18\\b\left( {a + b + 1} \right) = 72\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{{a^2} + a - 18}}{2}\;\;\;\left( 1 \right)\\\frac{{{a^2} + a - 18}}{2}\left( {a + \frac{{{a^2} + a - 18}}{2} + 1} \right) = 72\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {{a^2} + a - 18} \right)\left( {{a^2} + 3a - 16} \right) = 288\\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {{a^2} + 2a - 17} \right) - \left( {a + 1} \right)} \right].\left[ {\left( {{a^2} + 2a - 17} \right) + \left( {a + 1} \right)} \right] = 288\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + 2a - 17} \right)^2} - {\left( {a + 1} \right)^2} = 288\\ \Leftrightarrow {a^4} + 4{a^3} + 4{a^2} - 68a - 34{a^2} + 289 - {a^2} - 2a - 1 = 288\\ \Leftrightarrow {a^4} + 4{a^3} - 31{a^2} - 70a + 288 = 288\\ \Leftrightarrow a\left( {{a^3} + 4{a^2} - 31a - 70} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a\left( {{a^3} - 5{a^2} + 9{a^2} - 45a + 14a - 70} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a\left( {a - 5} \right)\left( {{a^2} + 9a + 14} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow a\left( {a - 5} \right)\left( {a + 2} \right)\left( {a + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0 \Rightarrow b = - 9\\a = 5 \Rightarrow b = 6\\a = - 2 \Rightarrow b = - 8\\a = - 7 \Rightarrow b = 12\end{array} \right..\)

+) Với \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = - 9\end{array} \right.\) ta có hai số \(x,\;\;y\) là nghiệm của phương trình: \({X^2} - 0X - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = - 3\\X = 3\end{array} \right.\)

Vậy ta được hai nghiệm của hệ phương trình: \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {3;\; - 3} \right),\;\left( { - 3;\;3} \right)} \right\}.\)

+) Với \(\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 6\end{array} \right.\) ta có hai số \(x,\;\;y\) là nghiệm của phương trình: \({X^2} - 5X + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 2\\X = 3\end{array} \right.\)

Vậy ta được hai nghiệm của hệ phương trình: \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {3;\;2} \right),\;\left( {2;\;3} \right)} \right\}.\)

+) Với \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 8\end{array} \right.\) ta có hai số \(x,\;\;y\) là nghiệm của phương trình: \({X^2} + 2X - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 2\\X = - 4\end{array} \right.\)

Vậy ta được hai nghiệm của hệ phương trình: \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 4;\;2} \right),\;\left( {2;\; - 4} \right)} \right\}.\)

+) Với \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 7\\b = 12\end{array} \right.\) ta có hai số \(x,\;\;y\) là nghiệm của phương trình: \({X^2} + 7X + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = - 3\\X = - 4\end{array} \right.\)

Vậy ta được hai nghiệm của hệ phương trình: \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 3; - 4} \right),\;\left( { - 4; - 3} \right)} \right\}.\)

Vậy ta được hai nghiệm của hệ phương trình: \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 3; - 4} \right),\;\left( { - 4; - 3} \right);\;\left( { - 4;\;2} \right),\;\left( {2; - 4} \right),\;\left( {3;\;2} \right),\;\left( {2;\;3} \right),\;\left( {3; - 3} \right),\;\left( { - 3;\;3} \right)} \right\}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link