Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,BC = a\sqrt 3 ,SA = a\) và \(SA\)

Câu hỏi số 307106:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,BC = a\sqrt 3 ,SA = a\) và \(SA\) vuông góc với đáy \(ABCD\). Tính \(\sin \alpha \) với \(\alpha \) là góc tạo bởi đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

A. \(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\)

B. \(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{5}\)

C. \(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{8}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:307106

Phương pháp giải

- Dựng hình hộp chữ nhật \(SB'C'D'.ABCD\), xác định góc giữa \(BD\) và \(\left( {SBC} \right)\) (nhỏ hơn \({90^0}\)) là góc giữa \(BD\) và hình chiếu của nó trên \(\left( {SBC} \right)\).

- Sử dụng các kiến thức hình học đã học ở lớp dưới tìm \(\sin \alpha \).

Giải chi tiết

Qua \(B,C,D\) lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với đáy.

Dựng hình hộp chữ nhật \(SB'C'D'.ABCD\) như hình vẽ.

Dễ thấy mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) được mở rộng thành mặt phẳng \(\left( {SBCD'} \right)\).

Tam giác \(D'DC\) có \(D'D = DC = a\) và \(\widehat D = {90^0}\) nên vuông cân tại \(D\)

Gọi \(J\) là trung điểm của \(CD'\) thì \(DJ \bot CD'\)

Ta có: \(BC \bot \left( {D'DCC'} \right) \Rightarrow BC \bot DJ\).

Mà \(DJ \bot CD'\) nên \(DJ \bot \left( {BCD'S} \right)\) hay \(J\) là hình chiếu của \(D\) lên \(\left( {SBC} \right)\).

Do đó \(\widehat {\left( {BD,\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {BD,BJ} \right)} = \widehat {JBD}\) (vì \(\widehat {JBD} < \widehat {BJD} = {90^0}\))

Xét tam giác \(BJD\) vuông tại \(J\) có:\(DJ = \dfrac{1}{2}CD' = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2},BD = \sqrt {C{D^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\)

Nên \(\sin \alpha = \sin \widehat {JBD} = \dfrac{{DJ}}{{BD}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}:2a = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Vậy \(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.