Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a.\) Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong

Câu hỏi số 307480:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a.\) Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(H,\,K\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(AD\). Tính sin của góc tạo bởi giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SHK} \right)\)

A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\)

C. \(\frac{{\sqrt 7 }}{4}\)

D. \(\frac{{\sqrt {14} }}{4}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:307480

Phương pháp giải

+) Gọi \(I = AC \cap HK\), chứng minh \(AI \bot \left( {SHK} \right)\), từ đó xác định góc giữa \(SA\) và \(\left( {SHK} \right)\).

+) Sử dụng công thức \(\sin = \frac{{doi}}{{huyen}}\).

Giải chi tiết

\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(I = AC \cap HK\)

Do ABCD là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot BD\).

Mà \(HK//BD\) (HK là đường trung bình của tam giác \(ABD\))

\( \Rightarrow AC \bot HK \Rightarrow AI \bot HK\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot HK\\AI \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow SI\) là hình chiếu của \(SA\) lên \(\left( {SHK} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {SHK} \right)} \right) = \angle \left( {SA;SI} \right) = \angle ISA\).

Gọi \(O = AC \cap BD\), áp dụng định lí Ta-lét ta có : \(\frac{{AI}}{{OA}} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow AI = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{4}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Tam giác SIA vuông tại I \( \Rightarrow \sin \angle ISA = \frac{{AI}}{{SA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Vậy \(\sin \angle \left( {SA;\left( {SHK} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.