Biết \(F\left( x \right) = \left( {a\,{x^2} + bx + c} \right){e^{ - x}}\) là một nguyên hàm của hàm số

Câu hỏi số 307481:

Vận dụng

Biết \(F\left( x \right) = \left( {a\,{x^2} + bx + c} \right){e^{ - x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {2{x^2} - 5x + 2} \right){e^{ - x}}\) trên \(\mathbb{R}\) . Giá trị của biểu thức \(f\left( {F\left( 0 \right)} \right)\) bằng

A. \(9e\)

B. \( - \frac{1}{e}\)

C. \(3e\)

D. \(20{e^2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:307481

Phương pháp giải

+) \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

+) Tính \(F'\left( x \right)\), sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số, tìm \(a,\,\,b,\,\,c\).

+) Tính \(F\left( 0 \right)\), từ đó tính được \(f\left( {F\left( 0 \right)} \right)\).

Giải chi tiết

Do \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right){e^{ - x}} - \left( {a{x^2} + bx + c} \right).{e^{ - x}} = \left( { - a{x^2} + \left( {2a - b} \right)x - c} \right){e^{ - x}}\)

Đồng nhất hệ số ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 2a = 2\\2a - b = - 5\\ - c = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 3\\c = - 2\end{array} \right. \Rightarrow F\left( x \right) = \left( { - {x^2} + 3x - 2} \right){e^{ - x}}\)

\( \Rightarrow F\left( 0 \right) = - 2{e^{ - 0}} = - 2 \Rightarrow f\left( {F\left( 0 \right)} \right) = f\left( { - 2} \right) = 20{e^2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.