Cho hàm số \(f\left( x \right),\,\,f\left( { - x} \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn

Câu hỏi số 308334:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right),\,\,f\left( { - x} \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(2f\left( x \right) + 3f\left( { - x} \right) = \dfrac{1}{{4 + {x^2}}}\). Tính \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} \).

A. \(I = \dfrac{\pi }{{20}}\)

B. \(I = \dfrac{\pi }{{10}}\)

C. \(I = - \dfrac{\pi }{{20}}\)

D. \(I = - \dfrac{\pi }{{10}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:308334

Phương pháp giải

+) Chứng minh \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( { - x} \right)dx} \).

+) Lấy tích phân từ -2 đến 2 hai vế của \(2f\left( x \right) + 3f\left( { - x} \right) = \dfrac{1}{{4 + {x^2}}}\). Tính \(I\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = - x \Rightarrow dx = - dt\).

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 \Rightarrow t = 2\\x = 2 \Rightarrow t = - 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = - \int\limits_2^{ - 2} {f\left( { - t} \right)dt} = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( { - x} \right)dx} \).

Theo bài ra ta có : \(2f\left( x \right) + 3f\left( { - x} \right) = \dfrac{1}{{4 + {x^2}}} \Leftrightarrow 2\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} + 3\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( { - x} \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {\dfrac{{dx}}{{4 + {x^2}}}} \)

\( \Leftrightarrow 3I + 2I = \int\limits_{ - 2}^2 {\dfrac{{dx}}{{4 + {x^2}}}} \Leftrightarrow I = \dfrac{1}{5}\int\limits_{ - 2}^2 {\dfrac{{dx}}{{4 + {x^2}}}} \).

Đặt \(x = 2\tan u\) ta có : \(dx = 2\dfrac{1}{{{{\cos }^2}u}}du = 2\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du\)

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 \Rightarrow u = \dfrac{{ - \pi }}{4}\\x = 2 \Rightarrow u = \dfrac{\pi }{4}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có \(I = \dfrac{1}{5}\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{2\left( {1 + {u^2}} \right)du}}{{4 + 4{{\tan }^2}u}}} = \dfrac{1}{{10}}\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {du} = \left. {\dfrac{1}{{10}}u} \right|_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} = \dfrac{1}{{10}}\left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{{20}}\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.