Biết bất phương trình \({\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{25}}\left( {{5^{x + 1}} - 5} \right) \le 1\) có tập nghiệm là đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Giá trị của \(a + b\) bằng

Câu 309531: Biết bất phương trình \({\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{25}}\left( {{5^{x + 1}} - 5} \right) \le 1\) có tập nghiệm là đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Giá trị của \(a + b\) bằng

A. \(2 + {\log _5}156\)

B. \( - 1 + {\log _5}156\)

C. \( - 2 + {\log _5}156\)

D. \( - 2 + {\log _5}26\)

Câu hỏi : 309531

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình bằng cách đưa về bất phương trình bậc hai, ẩn là \({\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right)\).

Đáp án : C
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Điều kiện: \({5^x} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{25}}\left( {{5^{x + 1}} - 5} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right).\dfrac{1}{2}{\log _5}\left[ {5\left( {{5^x} - 1} \right)} \right] \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right).\left[ {1 + {{\log }_5}\left( {{5^x} - 1} \right)} \right] - 2 \le 0\\ \Leftrightarrow \log _5^2\left( {{5^x} - 1} \right) + {\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right) - 2 \le 0\\ \Leftrightarrow \left[ {{{\log }_5}\left( {{5^x} - 1} \right) - 1} \right]\left[ {{{\log }_5}\left( {{5^x} - 1} \right) + 2} \right] \le 0\\ \Leftrightarrow - 2 \le {\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right) \le 1 \Leftrightarrow {5^{ - 2}} \le {5^x} - 1 \le {5^1} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{25}} \le {5^x} - 1 \le 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{{26}}{{25}} \le {5^x} \le 6 \Leftrightarrow {\log _5}\dfrac{{26}}{{25}} \le x \le {\log _5}6\end{array}\)

Do đó tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {{{\log }_5}\dfrac{{26}}{{25}};{{\log }_5}6} \right] \Rightarrow a = {\log _5}\dfrac{{26}}{{25}};b = {\log _5}6\)

\( \Rightarrow a + b = {\log _5}\dfrac{{26}}{{25}} + {\log _5}6 = {\log _5}\dfrac{{156}}{{25}} = {\log _5}156 - {\log _5}25 = {\log _5}156 - 2\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.