Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(2\sqrt 2 \), cạnh bên SA vuông góc với mặt

Câu hỏi số 310432:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(2\sqrt 2 \), cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua A và vuông góc với SC cắt các cạn SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.

A. \(V = \frac{{108\pi }}{3}\).

B. \(V = \frac{{64\sqrt 2 \pi }}{3}\).

C. \(V = \frac{{125\pi }}{6}\).

D. \(V = \frac{{32\pi }}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:310432

Phương pháp giải

+ Chứng minh: O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP (với O là tâm của hình vuông ABCD)

+ Thể tích khối cầu có bán kính \(r\) là: \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\).

Giải chi tiết

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD \( \Rightarrow O\) là trung điểm của AC

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AP\)

\(\left\{ \begin{array}{l}SC \bot AP\,\,\left( {do\,\,SC \bot \left( \alpha \right)} \right)\\CD \bot AP\end{array} \right. \Rightarrow AP \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AP \bot CP \Rightarrow \Delta APC\) vuông tại P \( \Rightarrow OA = OC = OP\)

Tương tự, ta có: \(\Delta AMC\) vuông tại M \( \Rightarrow OA = OC = OM\)

Lại có: \(SC \bot AN\,\,\,\left( {do\,\,SC \bot \left( \alpha \right)} \right) \Rightarrow \Delta ANC\) vuông tại N \( \Rightarrow OA = OC = ON\)

\( \Rightarrow OA = OC = OP = OM = ON \Rightarrow \) O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

Bán kính : \(R = OA = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 2\)

Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là: \(V = \frac{4}{3}\pi {.2^3} = \frac{{32\pi }}{3}\).

Chọn: D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.