Biết \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({\log _7}\left( {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}}

Câu hỏi số 310433:

Vận dụng

Biết \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({\log _7}\left( {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x\) và \({x_1} + 2{x_2} = \frac{1}{4}\left( {a + \sqrt b } \right)\) với \(a,b\) là hai số nguyên dương. Tính \(a + b\).

A. \(a + b = 16\).

B. \(a + b = 14\).

C. \(a + b = 13\).

D. \(a + b = 11\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:310433

Phương pháp giải

Giải phương trình bằng phương pháp xét hàm số.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ne \frac{1}{2},\,\,x > 0\)

Ta có: \({\log _7}\left( {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x \Leftrightarrow {\log _7}\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) - {\log _7}\left( {2x} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x\)

\( \Leftrightarrow {\log _7}\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + 4{x^2} - 4x + 1 = {\log _7}\left( {2x} \right) + 2x\) (1)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _7}t + t,\,\,t > 0\) có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t.\ln 7}} + 1 > 0,\,\,\forall t > 0\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Khi đó, \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) = f\left( {2x} \right) \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 = 2x \Leftrightarrow 4{x^2} - 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4}\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4}\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

TH1: \({x_1} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4},{x_2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4} \Rightarrow {x_1} + 2{x_2} = \frac{{9 - \sqrt 5 }}{4} = \frac{1}{4}\left( {a + \sqrt b } \right)\): Vô lí

TH2: \({x_1} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4},{x_2} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4} \Rightarrow {x_1} + 2{x_2} = \frac{{9 + \sqrt 5 }}{4} = \frac{1}{4}\left( {a + \sqrt b } \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 14\) .

Chọn: B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.