Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH (\(H \in BC\)), đường phân giác BD của góc ABC cắt

Câu hỏi số 311729:

Vận dụng

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH (\(H \in BC\)), đường phân giác BD của góc ABC cắt AH tại E (\(E \in AH\)) và cắt AC tại D (D thuộc AC).

a) Chứng minh \(\Delta HBA\)\( \sim \)\(\Delta ABC\). Từ đó suy ra \(B{A^2} = {\rm{ }}BH.BC.\)

b) Biết AB = 12cm, AC = 16cm. Tính AD.

c) Chứng minh\(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BE}}{{BD}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:311729

Phương pháp giải

a) Chứng minh cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc. Suy ra biểu thức cần chứng minh.

b) Áp dụng định lý Pitago và tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài AD.

c) Chứng minh cặp tam giác đồng dạng, áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác và tính chất bắc cầu để tìm ra tỉ lệ thức cần chứng minh.

Giải chi tiết

a) Xét tam giác HBA và tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}\angle AHB = \angle CAB = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\\\angle B\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta HBA \sim \Delta ABC\;(g - g)\,\,\,\left( {dpcm} \right)\\ \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BA}} \Leftrightarrow B{A^2} = BH.BC\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

b) Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400 \Rightarrow BC = 20cm\)

Ta có BD là phân giác góc B của tam giác ABC. Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ta có tỉ lệ thức sau:

\(\begin{array}{l}\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{BA}} = \frac{{DC + DA}}{{BC + BA}} = \frac{{AC}}{{BC + BA}} = \frac{{16}}{{32}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \frac{{DA}}{{12}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow DA = \frac{{12}}{2} = 6cm\end{array}\)

c) Ta có \(\Delta HBA \sim \Delta ABC\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \angle BAH = \angle BCA\;\,hay\,\angle BA{\rm{E}} = \angle BC{\rm{D}}\) (hai góc tương ứng)

Xét tam giác EAB và tam giác DCB ta có:

\(\begin{array}{l}\angle ABE = \angle CB{\rm{D}}\;(gt)\\\angle BA{\rm{E}} = \angle BC{\rm{D}}\\ \Rightarrow \Delta E{\rm{A}}B \sim \Delta DCB\;(g - g)\\ \Rightarrow \frac{{BE}}{{B{\rm{D}}}} = \frac{{BA}}{{BC}}\;\;(1)\end{array}\)

Ta lại có: \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{B{\rm{C}}}}\) (tính chất đường phân giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BE}}{{B{\rm{D}}}}\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link