Cho 3 số thực \(x,y,z\) thỏa mãn \(2x + 2y + z = 4.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A =

Câu hỏi số 311730:

Vận dụng cao

Cho 3 số thực \(x,y,z\) thỏa mãn \(2x + 2y + z = 4.\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A = 2xy + yz + zx.\)

A. \({A_{\max }} = \frac{7}{3}\)

B. \({A_{\max }} = 3\)

C. \({A_{\max }} = 2\)

D. \({A_{\max }} = \frac{8}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:311730

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức A về dạng \(A{\rm{ }} = {\rm{ }}{X^2} + {\rm{ }}{Y^2} + {\rm{ }}{Z^2} + {\rm{ }}Q\) (X, Y, Z là các biểu thức chứa ẩn, Q là hằng số). Khi đó, ta luôn có \({X^2},{Y^2},{Z^2} \Rightarrow {A_{\max }} = Q.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(2x + 2y + z = 4 \Leftrightarrow z = 4 - 2x - 2y.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = 2xy + yz + zx = 2xy + y\left( {4-2x-2y} \right) + x\left( {4-2x-2y} \right)\\ = {\rm{ }}2xy + 4y-2xy-2{y^2} + 4x-2{x^2}-2xy\\ = -2{x^2}-2xy + 4x-2{y^2} + 4y\\ = - \left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - \frac{8}{3}\left( {x + y} \right) + \frac{{16}}{9}} \right] - \left( {{x^2} - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}} \right) - \left( {{y^2} - \frac{4}{3}y + \frac{4}{9}} \right) + \frac{8}{3}\\ = - {\left( {x + y - \frac{4}{3}} \right)^2} - {\left( {x - \frac{2}{3}} \right)^2} - {\left( {y - \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{8}{3}\end{array}\)

Mà: \({\left( {x + y - \frac{4}{3}} \right)^2} \ge 0;\;{\left( {x - \frac{2}{3}} \right)^2} \ge 0;\;{\left( {y - \frac{2}{3}} \right)^2} \ge 0\;\forall x,\;y\)

\( \Rightarrow A = - {\left( {x + y - \frac{4}{3}} \right)^2} - {\left( {x - \frac{2}{3}} \right)^2} - {\left( {y - \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{8}{3} \ge \frac{8}{3}\)\(\forall x,\;y\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - \frac{4}{3} = 0\\x - \frac{2}{3} = 0\\y - \frac{2}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{2}{3}.\)

Vậy A_max = \(\frac{8}{3}\) tại \(\left\{ \begin{array}{l}x = y = \frac{2}{3}\\z = \frac{4}{3}\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link