Cho tam giác \(ABC\) nhọn, đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right).\) Gọi \(I\) là chân đường vuông

Câu hỏi số 313693:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) nhọn, đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right).\) Gọi \(I\) là chân đường vuông góc hạ từ \(H\) xuống \(AB\) , trên tia đối của \(IH\) lấy điểm \(E\) sao cho \(IE = IH\)

a) Chứng minh \(AE = AH.\)

b) Gọi \(K\) là chân đường vuông góc hạ từ \(H\) xuống \(AC\) , trên tia đối của tia \(KH\) lấy điểm \(F\) sao cho \(KF = KH.\) Chứng minh tam giác \(AEF\) cân.

c)\(EF\) cắt \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N.\) Chứng minh \(HA\) là phân giác của \(\angle MHN.\)

d) Chứng minh \(AH,BN,CM\) đồng quy.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:313693

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau (có chứa hai cạnh AE và AH) theo trường hợp c.g.c. Rồi suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau là: \(AE = AH\).

b) Chứng minh tam giác \(AEF\) cân tại A, ta chứng minh \(AE = AF\) bằng cách chỉ ra \(\Delta AKH = \Delta AKF\) rồi suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau là \(AH = AF\). Mà \(AH = AE\left( {cmt} \right)\) nên \(AE = AF\) .

c) \(\begin{array}{l}cm:\,\Delta AEM = \Delta AHM \Rightarrow \angle E = \angle {H_1}\\cm:\,\Delta AFN = \Delta AHN \Rightarrow \angle F = \angle {H_2}\end{array}\)

Mà \(\begin{array}{l}\angle E = \angle F\\ \Rightarrow \angle {H_1} = \angle {H_2} \Rightarrow dpcm\end{array}\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(AE = AH.\)

Xét \(\Delta AIE\& \Delta AIH\) có:

\(\begin{array}{l}AI\,chung\\\angle AIE = \angle AIH = {90^0}\left( {gt} \right)\\IE = IH\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AIE = \Delta AIH\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow AE = AH\) (cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta AKH\& \Delta AKF\) có:

\(\begin{array}{l}AK\,\,chung\\\angle AKH = \angle AKF = {90^0}\left( {gt} \right)\\KH = KF\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AKH = \Delta AKF\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)

\(AF = AH\) (cạnh tương ứng)

Mà

\(\begin{array}{l}AH = AE\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow AF = AE\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta AEF\)cân tại A. (đpcm).

+) Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta AHM\) có:

\(\begin{array}{l}AM\,chung\\\angle EAM = \angle HAM\,\left( {do\,\Delta AIE = \Delta AIH\,\left( {cmt} \right)} \right)\\AE = AH\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AEM = \Delta AHM\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle E = \angle {H_1}\) (1) (góc tương ứng)

+) Xét \(\Delta AFN\) và \(\Delta AHN\) có:

\(AN\,chung\)

\(\angle HAN = \angle FAN\)(do \(\Delta AKH = \Delta AKF\left( {cmt} \right)\)

\(AH = AF\,\left( {cmt} \right)\)

\(_{ \Rightarrow \angle {H_2} = \angle F}\)

Mà \(\angle E = \angle F\) (do \(\Delta AEF\) cân tại \(A\,\,\left( {cmt} \right)\))

\( \Rightarrow \angle {H_1} = \angle {H_2}\)

Vậy \(AH\) là đường phân giác của góc \(\angle MHN\)

d) Chứng minh tương tự, ta được MC là phân giác của \(\angle HMN\)

Có: \(AB\) là trung trực của \(EH \Rightarrow ME = MH\)

\( \Rightarrow \Delta MEH\) cân tại \(M\)

\( \Rightarrow \) Đường cao \(MI\) đồng thời là đường phân giác của \(\angle EMH\)

\( \Rightarrow MI,MC\) là phân giác của hai góc kề bù \(\angle EMH\,\,;\,\,\,\angle HMN\)

\( \Rightarrow MI \bot MC\,\,hay\,MC \bot AB\)

Chứng minh tương tự, ta có : \(BN \bot AC\)

\( \Rightarrow AH,BN,CM\) là 3 đường cao trong \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow AH,BN,CM\) đồng quy tại một điểm. (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link