Cho đa thức \(P\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(a,b,c\) và \(d\) là các hệ số nguyên.

Câu hỏi số 313694:

Vận dụng cao

Cho đa thức \(P\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(a,b,c\) và \(d\) là các hệ số nguyên. Biết rằng \(P\left( x \right) \vdots 5\) với mọi số nguyên x. Chứng minh rằng các số nguyên \(a,b,c\) và \(d\) cùng chia hết cho 5.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:313694

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất chia hết của một tổng: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó: a ⋮ m, b ⋮ m, c ⋮ m => (a + b + c) ⋮ m.

Giải chi tiết

+) Với \(x = 0\) ta có: \(P\left( 0 \right) = d \vdots 5\)

Vậy \(d \vdots 5\,\,\,\,\,\,\,\,\left( I \right)\)

Với \(x = 1\) ta có: \(P\left( 1 \right) = a + b + c + d = {\rm{[}}\left( {a + b + c} \right) + d{\rm{]}} \vdots 5\)

Mà \(d \vdots 5 \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) \vdots 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Với \(x = - 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}P\left( { - 1} \right) = ( - a + b - c + d) \vdots 5\,\\ \Rightarrow \left( { - a + b - c} \right) \vdots 5\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có : \({\rm{[}}\left( {a + b + c} \right) + \left( { - a + b - c} \right){\rm{]}} \vdots {\rm{5}}\)

Hay \(b \vdots 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {II} \right)\)

+) Với \(x = 2\) ta có :

\(\begin{array}{l}P\left( 2 \right) = a{.2^3} + b{.2^2} + c.2 + d\\ = 8.a + 4b + 2.c + d\\ = 2.\left( {4a + 2b + c} \right) + d\,\,\\P\left( 2 \right) \vdots 5\,\,\,\,hay\,\,\,\left[ {2.\left( {4a + 2b + c} \right) + d\,\,} \right] \vdots 5\\ \Rightarrow (4a + 2b + c) \vdots 5\\ \Rightarrow \,\,(4a + c) \vdots 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Từ (2) và (3) ta có:

\(\begin{array}{l}{\rm{[}}\left( { - a + b - c} \right) + \left( {4a + c} \right){\rm{]}} \vdots {\rm{5}}\\ \Rightarrow ({\rm{3a + b)}} \vdots {\rm{5}}\\ \Rightarrow 3a \vdots 5\\ \Rightarrow a \vdots 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {III} \right)\end{array}\)

Do \(\left( I \right);\,\left( {II} \right);\,\left( {III} \right)\) và \(\left( {a + b + c} \right) \vdots 5 \Rightarrow c \vdots 5\)

Vậy \(a,\,b,\,c,d\) cùng chia hết cho 5. (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link