Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z - 7 = 0\) và mặt cầu \(\left( S

Câu hỏi số 314576:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z - 7 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0\). Mặt phẳng song song với \(\left( P \right)\)và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng \(6\pi \) có phương trình là:

A. \(2x + 2y - z - 19 = 0\).

B. \(2x + 2y - z + 17 = 0\).

C. \(2x + 2y - z - 17 = 0\).

D. \(2x + 2y - z + 7 = 0\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:314576

Phương pháp giải

+ Xác định phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có dạng \(\left( Q \right):2x + 2y - z + D = 0\,\left( {D \ne - 7} \right)\)

+ Tính khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu đến mặt phẳng \(\left( Q \right)\): Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và bán kính \(R\) cắt mặt phẳng \(\left( Q \right)\) theo đường tròn bán kính \(r\) thì khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \)

+ Dựa vào công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để xác định \(D.\)

Chú ý rằng:

+ Mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)

+ Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right):ax + by + cz + d = 0\) là

\(d\left( {M;\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Giải chi tiết

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài. Vì \(\left( Q \right)//\left( P \right)\) nên phương trình mặt phẳng

\(\left( Q \right):2x + 2y - z + D = 0\) với \(\left( {D \ne - 7} \right)\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1, - 2,3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2} - \left( { - 11} \right)} = \sqrt {25} = 5\) .

Đường tròn giao tuyến có bán kính \(r = 3\) nên khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\)

Ta có \(d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2 - 4 - 3 + D} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| { - 5 + D} \right|}}{3}\) nên \(\dfrac{{\left| { - 5 + D} \right|}}{3} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D - 5 = 12\\D - 5 = - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 17\left( N \right)\\D = - 7\left( L \right)\end{array} \right.\)

Nên phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + 2y - z + 17 = 0\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.