Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là

Câu hỏi số 314580:

Vận dụng

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}\). Mô đun của số phức \(w = M + mi\) là

A. \(\left| w \right| = 3\sqrt {137} \).

B. \(\left| w \right| = \sqrt {1258} \).

C. \(\left| w \right| = 2\sqrt {309} \).

D. \(\left| w \right| = 2\sqrt {314} \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:314580

Phương pháp giải

+ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z.\)

+ Biến đổi biểu thức \(P\) rồi biến đổi để tìm GTNN và GTLN

+ Mô đun số phức \(z = a + bi\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right)\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Giải chi tiết

Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)

Từ \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\)

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;4} \right)\)và bán kính \(R = \sqrt 5 \).

Từ biểu thức \(P = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2} = 4x + 2y + 3 \Leftrightarrow 4x + 2y + 3 - P = 0\).

Gọi đường thẳng \(\left( \Delta \right):4x + 2y + 3 - P = 0\).

Theo yêu cầu bài toán thì hệ phương trình sau phải có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\\4x + 2y + 3 - P = 0\end{array} \right.\)

Khi và chỉ khi: \(d\left( {I;\Delta } \right) \le R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {4.3 + 2.4 + 3 - P} \right|}}{{2\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {23 - P} \right| \le 10 \Leftrightarrow 13 \le P \le 33\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = 33\\m = 13\end{array} \right. \Rightarrow w = 33 + 13i \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {1258} \)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.