Biết \(\int\limits_1^e {\dfrac{{2\ln x + 3}}{{{x^2}}}dx = \dfrac{a}{e} + b} \) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Giá

Câu hỏi số 314581:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_1^e {\dfrac{{2\ln x + 3}}{{{x^2}}}dx = \dfrac{a}{e} + b} \) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Giá trị \(a + b\) bằng

A. \( - 2\)

B. \( - 8\)

C. \(2\)

D. \(8\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:314581

Phương pháp giải

- Tách tích phân đã cho thành các tích phân quen thuộc.

- Sử dụng các phương pháp tính tích phân (các hàm cơ bản, từng phần) tính các tích phân vừa tách được và suy ra đáp số.

Giải chi tiết

Ta có: \(\int\limits_1^e {\dfrac{{2\ln x + 3}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^e {\dfrac{{2\ln x}}{{{x^2}}}dx} + \int\limits_1^e {\dfrac{3}{{{x^2}}}dx} = 2I + K\)

\(K = \int\limits_1^e {\dfrac{3}{{{x^2}}}dx} = \left. { - \dfrac{3}{x}} \right|_1^e = 3 - \dfrac{3}{e}\); \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \dfrac{1}{{{x^2}}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = - \dfrac{1}{x}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \left. { - \dfrac{1}{x}\ln x} \right|_1^e + \int\limits_1^e {\dfrac{1}{{{x^2}}}dx} = - \dfrac{1}{e} - \left. {\dfrac{1}{x}} \right|_1^e = 1 - \dfrac{2}{e}\)

Khi đó: \(\int\limits_1^e {\dfrac{{2\ln x + 3}}{{{x^2}}}dx} = 2\left( {1 - \dfrac{2}{e}} \right) + 3 - \dfrac{3}{e} = - \dfrac{7}{e} + 5\)

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 7\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow a + b = - 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.