Cho hàm số \(f(x)\) thoả mãn \({\left[ {f'(x)} \right]^2} + f(x).f''(x) = 2{x^2} - x + 1,\,\forall x \in

Câu hỏi số 314590:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f(x)\) thoả mãn \({\left[ {f'(x)} \right]^2} + f(x).f''(x) = 2{x^2} - x + 1,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f(0) = f'(0) = 3\). Giá trị của \({\left[ {f(1)} \right]^2}\) bằng

A. \(28\).

B. \(22\).

C. \(\dfrac{{19}}{2}\).

D. \(10\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:314590

Phương pháp giải

Nhận ra rằng \({\left[ {f'(x)} \right]^2} + f(x).f''(x) = {\left[ {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right]^\prime }\) từ đó lấy nguyên hàm hai vế của phương trình ta tìm được \(f\left( x \right).f'\left( x \right)\) và kết hợp giả thiết để biến đổi tìm ra \(f\left( x \right).\) Từ đó tính \({f^2}\left( 1 \right)\).

Giải chi tiết

Ta có \({\left[ {f'(x)} \right]^2} + f(x).f''(x) = 2{x^2} - x + 1\)

\( \Leftrightarrow \left[ {f(x).f'(x)} \right]' = 2{x^2} - x + 1\)

\( \Rightarrow f(x).f'(x) = \int {\left( {2{x^2} - x + 1} \right){\rm{d}}x} \)

\( \Rightarrow f(x).f'(x) = \dfrac{{2{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + x + C\,\,(*)\)

Mà ta lại có \(f(0) = f'(0) = 3\), thay vào (*) ta suy ra \(3.3 = C \Rightarrow C = 9\)

Từ đó \(f(x).f'(x) = \dfrac{{2{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + x + 9\,\)

Mặt khác xét \(\int\limits_0^1 {f(x).f'(x).{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{{2{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + x + 9} \right){\rm{d}}x} \,\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f(x){\rm{d}}\left( {f(x)} \right)} = \dfrac{{19}}{2} \Leftrightarrow \left. {\dfrac{{{f^2}(x)}}{2}} \right|_0^1 = \dfrac{{19}}{2}\)

\( \Leftrightarrow {f^2}(1) - {f^2}(0) = 19\) mà \(f\left( 0 \right) = 3\) \( \Rightarrow {f^2}(1) - 9 = 19 \Leftrightarrow {f^2}\left( 1 \right) = 28\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.