Cho ba số phức \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}\) phân biệt thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}}

Câu hỏi số 314980:

Vận dụng cao

Cho ba số phức \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}\) phân biệt thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 3\) và \(\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} = \overline {{z_3}} \). Biết \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}\) lần lượt được biểu diễn bởi các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) trên mặt phẳng phức. Tính góc \(\angle ACB\).

A. \({150^0}\)

B. \({90^0}\)

C. \({120^0}\)

D. \({45^0}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:314980

Giải chi tiết

Do \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}\) lần lượt được biểu diễn bởi các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\). Gọi \(A',\,\,B',C'\) là các điểm đối xứng \(A,B,C\) qua \(Ox \Rightarrow \) \(A',\,\,B',C'\) lần lượt là các điểm biểu diễn số các số phức \(\overline {{z_1}} ,\,\,\overline {{z_2}} ,\,\,\overline {{z_3}} \) nên theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA = OB = OC = OA' = OB' = OC' = 3\\\left| {\overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {OB'} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC'} } \right| = 3\end{array} \right.\)

Gọi \(D'\) là trung điểm của \(A'B'\) ta có: \(\overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {OB'} = 2\overrightarrow {OD'} = \overrightarrow {OC'} \Rightarrow D'\) là trung điểm của \(OC'\)\( \Rightarrow OD = \dfrac{3}{2}\).

Xét tam giác \(OA'B'\) ta có: \(O{D^2} = \dfrac{{OA{'^2} + OB{'^2}}}{2} - \dfrac{{A'B{'^2}}}{4}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{9}{4} = \dfrac{{9 + 9}}{2} - \dfrac{{A'B{'^2}}}{4} \Rightarrow A'B' = 3\sqrt 3 = AB\).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(OAB\) ta có:

\(\cos \angle AOB = \dfrac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2OA.OB}} = \dfrac{{9 + 9 - 27}}{{2.3.3}} = \dfrac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \angle AOB = {120^0}\).

Gọi \(D\) là điểm đối xứng \(D'\) qua \(Ox\). Do \(D'\) là trung điểm của \(A'B'\) nên \(D\) là trung điểm của \(AB\).

\(D'\) là trung điểm của \(OC' \Rightarrow D\) là trung điểm của \(OC\).

Xét tứ giác \(OACB\) có hai đường chéo \(OC,\,\,AB\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường \( \Rightarrow OACB\) là hình bình hành \( \Rightarrow \angle ACB = \angle AOB = {120^0}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.