Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - y - z + 6 = 0;\,\,\left( Q \right):\,\,2x

Câu hỏi số 315003:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - y - z + 6 = 0;\,\,\left( Q \right):\,\,2x + 3y - 2z + 1 = 0\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm thuộc \(\left( Q \right)\) và cắt \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có tâm \(E\left( { - 1;2;3} \right)\), bán kính \(r = 8\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là:

A. \({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 64\)

B. \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 67\)

C. \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3\)

D. \({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 64\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:315003

Phương pháp giải

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(E\) và vuông góc với \(\left( P \right)\), gọi \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right) \Rightarrow I = d \cap \left( Q \right)\).

Viết phương trình đường thẳng \(d\), xác định tọa độ điểm \(I\).

Áp dụng định lí Pytago tính \(R = \sqrt {I{E^2} + {r^2}} \).

Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Giải chi tiết

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(E\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) ta có phương trình \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\z = 2 - t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).

Gọi \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right) \Rightarrow I = d \cap \left( Q \right)\).

\(\begin{array}{l}I \in \left( d \right) \Rightarrow I\left( { - 1 + t;2 - t;3 - t} \right)\\I \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( { - 1 + t} \right) + 3\left( {2 - t} \right) - 2\left( {3 - t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I\left( {0;1;2} \right)\end{array}\).

Ta có \(IE = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \).

Gọi \(R\) là bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\). Áp dụng định lí Pytago ta có: \(R = \sqrt {I{E^2} + {r^2}} = \sqrt {3 + {8^2}} = \sqrt {67} \).

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 67\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.