Cho 20 số tự nhiên, mỗi số có ước nguyên tố không vượt quá 7. Chứng minh rằng luôn chọn

Câu hỏi số 315040:

Vận dụng cao

Cho 20 số tự nhiên, mỗi số có ước nguyên tố không vượt quá 7. Chứng minh rằng luôn chọn được ra 2 số sao cho tích của chúng là 1 số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:315040

Phương pháp giải

Sử dụng định lý Dirichlet và xét tính chẵn lẻ của số mũ.

Giải chi tiết

Cho 20 số tự nhiên, mỗi số có ước nguyên tố không vượt quá 7. Chứng minh rằng luôn chọn được ra 2 số sao cho tích của chúng là 1 số chính phương.

Ta có: Các số có ước nguyên tố không vượt quá 7 có dạng: \({2^x}{.3^y}{.5^z}{.7^t}\).

Do \(x,\;y,\;z,\;t\) mỗi số có 2 trường hợp chẵn, lẻ nên số trên có tổng cộng \(2.2.2.2 = 16\) trường hợp của bộ \(x,\;y,\;z,\;t.\)

Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất \(\left[ {\frac{{20}}{{16}} + 1} \right] = 2\) số \(a,\;b\) sao cho:

\(\left\{ \begin{array}{l}a = {2^{{x_1}}}{.3^{{ y _1}}}{.5^{{z_1}}}{.7^{{t_1}}}\\b = {2^{{x_2}}}{.3^{{ y _2}}}{.5^{{z_2}}}{.7^{{t_2}}}\end{array} \right.\) và các số mũ tương ứng cùng tĩnh chẵn lẻ:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\;\;\;\\{y_1} + {y_2} = 2n\\{z_1} + {z_2} = 2p\\{t_1} + {t_2} = 2q\end{array} \right.\\ \Rightarrow a.b = {\left( {{2^m}{{.3}^n}{{.5}^p}{{.7}^q}} \right)^2}.\end{array}\)

Đây là 1 số chính phương.

Vậy ta luôn chọn được 2 số sao cho tích của chúng là số chính phương từ 20 số tự nhiên mà mỗi số có ước nguyên tố không vượt quá 7.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link