Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \({(x

Câu hỏi số 316461:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z + 2)^2} = 6\) đồng thời song song với hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{{ - 1}},{d_2}:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\) .

A. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y + 2z - 3 = 0}\\{x - y + 2z + 9 = 0}\end{array}} \right.\)

B. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + 2z - 3 = 0}\\{x + y + 2z + 9 = 0}\end{array}} \right.\)

C. \(x + y + 2z + 9 = 0\)

D. \(x - y + 2z + 9 = 0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:316461

Phương pháp giải

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và bán kính \(R \Rightarrow d\left( {I;\;\left( P \right)} \right) = R.\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}} ,\) song song với đường thẳng \({d_1},\;{d_2}\) có \(VTCP\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} ,\;\overrightarrow {{u_2}} \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;\;0;\; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 .\)

\({d_1}\) có VTCP là: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 1; - 1} \right),\) \({d_2}\) có VTCP là: \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;\;1; - 1} \right).\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot {d_1}\\\left( P \right) \bot {d_2}\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;\;2;\;4} \right) = 2\left( {1;\;1;\;2} \right).\)

Khi đó ta có phương trình \(\left( P \right)\) có dạng: \(x + y + 2z + d = 0.\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right) \Rightarrow d\left( {I;\;\left( P \right)} \right) = R\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1 + 0 + 2.\left( { - 2} \right) + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \sqrt 6 \Leftrightarrow \left| { - 3 + d} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3 + d = 6\\ - 3 + d = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 9\\d = - 3\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{P_1}} \right):\;\;\;x + y + 2z + 9 = 0\\\left( {{P_2}} \right):\;\;x + y + 2z - 3 = 0\end{array} \right..\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.