Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng \((P):x + 2y - 2z + 1 = 0,\) \((Q):x + my + (m - 1)z + 2019 = 0\). Khi hai mặt phẳng (P), (Q) tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì mặt phẳng (Q) đi qua điểm M nào sau đây?

Câu 316477: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng \((P):x + 2y - 2z + 1 = 0,\) \((Q):x + my + (m - 1)z + 2019 = 0\). Khi hai mặt phẳng (P), (Q) tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì mặt phẳng (Q) đi qua điểm M nào sau đây?

A. \(M(2019; - 1;1)\)

B. \(M(0; - 2019;0)\)

C. \(M( - 2019;1;1)\)

D. \(M(0;0; - 2019)\)

Câu hỏi : 316477

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Với \(\alpha \le {90^0}\) thì \(\cos \alpha \) là hàm nghịch biến.

Sử dụng công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right)\) là: \(\cos \angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}\).

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(\overrightarrow {{n_p}} ,\,\,\overrightarrow {{n_Q}} \) lần lượt là các VTPT của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right);\,\,\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;m;m - 1} \right)\).

Khi đó ta có \(\cos \angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {1 + 2m - 2m + 2} \right|}}{{3\sqrt {1 + {m^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {2{m^2} - 2m + 2} }}\)

Ta có \(2{m^2} - 2m + 2 = 2\left( {{m^2} - m} \right) + 2 = 2\left( {{m^2} - 2.m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4}} \right) + 2 = 2{\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{2} \ge \dfrac{3}{2}\)

\( \Rightarrow \cos \angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) \le \dfrac{1}{{\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{2}{3}\). Dấu " =" xảy ra \( \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\).

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right)\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left( Q \right):\,\,x + \dfrac{1}{2}y - \dfrac{1}{2}z + 2019 = 0\).

Khi đó \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(M( - 2019;\;1;\;1)\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.