Cho \(a,\;b,\;c > 0\), chứng minh rằng: \(\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} < \sqrt

Câu hỏi số 316876:

Vận dụng cao

Cho \(a,\;b,\;c > 0\), chứng minh rằng:

\(\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} < \sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:316876

Phương pháp giải

Chứng minh \(\sqrt {\frac{a}{{b + c}}} \ge \frac{{2a}}{{a + b + c}}\) và \(\frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}}\), từ đó suy ra đpcm.

Giải chi tiết

Cho \(a,b,c > 0\), chứng minh rằng: \(\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} < \sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a và \(b + c\) ta được:

\(\frac{{a + \left( {b + c} \right)}}{2} \ge \sqrt {a\left( {b + c} \right)} > 0 \Rightarrow \frac{2}{{a + b + c}} \le \frac{1}{{\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }}\)

\( \Rightarrow \frac{{2a}}{{a + b + c}} \le \frac{a}{{\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }} \Leftrightarrow \sqrt {\frac{a}{{b + c}}} \ge \frac{{2a}}{{a + b + c}}\;\;\;\left( 1 \right)\)

Chứng minh tương tự ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {\frac{b}{{c + a}}} \ge \frac{{2b}}{{a + b + c}}\;\;\;\left( 2 \right)\\\sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \ge \frac{{2c}}{{a + b + c}}\;\;\;\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta được: \(\sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \ge 2\) (*)

Ta chứng minh \(\frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}}\;\;\;\left( 4 \right)\)

Thật vậy ta có \(\frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}} \Leftrightarrow {a^2} + ab + ac < {a^2} + ab + ac + bc \Leftrightarrow bc > 0\) (luôn đúng do \(a,b,c > 0\))

Tương tự ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{b}{{b + c}} < \frac{{b + a}}{{a + b + c}}\;\;\;\left( 5 \right)\\\frac{c}{{c + a}} < \frac{{c + b}}{{a + b + c}}\;\;\;\left( 6 \right)\end{array} \right.\)

Cộng (4), (5) và (6) vế theo vế ta được: \(\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} < 2\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} < \sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link