Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có dây cung CD cố định. Gọi M là điểm nằm chính giữa cung

Câu hỏi số 316875:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có dây cung CD cố định. Gọi M là điểm nằm chính giữa cung nhỏ CD. Đường kính MN của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt dây CD tại I. Lấy điểm E bất kỳ trên cung lớn CD (E khác C,D,N); ME cắt CD tại K. Các đường thẳng NE và CD cắt nhau tại P.

a) Chứng minh rằng: Tứ giác IKEN nội tiếp.

b) Chứng minh: \(EI.MN = NK.ME\).

c) NK cắt MP tại Q. Chứng minh: IK là phân giác của \(\angle EIQ\).

d) Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H. Chứng minh khi E di động trên cung lớn CD (E khác C, D, N) thì H luôn chạy trên một đường cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:316875

Phương pháp giải

+) Chứng minh IKEN là tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^o}\)

+) Chứng minh \(\Delta MEI \sim \Delta MNK\) (g.g) để suy ra đpcm

+) Chứng minh tứ giác NIQP nội tiếp kết hợp a) để suy ra \(\angle QIP = \angle EIK\) từ đó ta được đpcm

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng: Tứ giác IKEN nội tiếp.

Xét đường tròn \(\left( O \right)\)đường kính MN có M là điểm chính giữa cung nhỏ CD

\( \Rightarrow MN \bot CD\) tại I \( \Rightarrow \angle NID = {90^o}\)

\(E \in \left( O \right) \Rightarrow \angle MEN = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác IKEN có: \(\angle NID + \angle MEN = {90^o} + {90^o} = {180^o}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác IKEN nội tiếp. (dhnb)

b) Chứng minh: \(EI.MN = NK.ME\).

Tứ giác IKEN nội tiếp (cmt) nên \(\angle MEI = \angle MNK\) (góc nội tiếp cùng chắn cung IK )

Xét \(\Delta MEI\) và \(\Delta MNK\) có:

\(\begin{array}{l}\angle E\;\;chung\\\angle MEI = \angle MNK\;\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta MEI \sim \Delta MNK\;\;\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{EI}}{{NK}} = \frac{{ME}}{{MN}} \Rightarrow EI.MN = NK.ME\;\;\;\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

c) NK cắt MP tại Q. Chứng minh: IK là phân giác của \(\angle EIQ\).

Xét \(\Delta MNP\) có: \(ME \bot NP\,\;\;\left( {cmt} \right)\,;\,\,PI \bot MN\;\;\left( {cmt} \right)\,\,;\,\,ME \cap PI = \left\{ K \right\}\)

\( \Rightarrow K\) là trực tâm \(\Delta MNP \Rightarrow NK \bot MP\) tại \(Q \Rightarrow \angle NQP = {90^o}\)

Xét tứ giác NIQP có \(\angle NIP = \angle NQP = {90^o}\) mà 2 góc này cùng nhìn đoạn NP

\( \Rightarrow \) Tứ giác NIQP nội tiếp (dhnb) \( \Rightarrow \angle QNP = \angle QIP\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PQ) (1)

Tứ giác IKEN nội tiếp (cm a) \( \Rightarrow \angle QNP = \angle EIK\) (cùng chắn EK) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle QIP = \angle EIK\)\( \Rightarrow \) IK là phân giác của \(\angle EIQ\;\;\;\left( {dpcm} \right).\)

Ta có: \(ME \bot NP\;\left( {cmt} \right);\,\,CH \bot NP\;\;\left( {gt} \right) \Rightarrow ME//CH\) (từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow \angle DEM = \angle DHC\) (đồng vị) ;

\(\angle MEC = \angle ECH\) (so le trong)

Mà \(\angle DEM = \angle MEC\) (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

\( \Rightarrow \angle EHC = \angle ECH\;\;\left( { = \angle DEM = \angle MEC} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta EHC\) cân tại E \(\Rightarrow\) EN là trung trực của CH (tính chất)

Mặt khác dễ dàng chứng minh IN là trung trực của CD \(\left( {IN \bot CD,\;\;IC = ID} \right).\)

\( \Rightarrow \) N là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta DCH\) \( \Rightarrow H \in \left( {N;NC} \right)\)

Mà N, C, D cố định \( \Rightarrow \) H thuộc đường tròn tâm N cố định bán kính NC không đổi (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link