Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, \(AB < AC\), nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Vẽ
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, \(AB < AC\), nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Vẽ đường kính AD của đường tròn \(\left( O \right)\), đường cao AH của tam giác ABC (H thuộc BC) và BE vuông góc với AD (E thuộc AD)
a) Chứng minh rằng tứ giác AEHB nội tiếp.
b) Chứng minh rằng \(AH.DC = AC.BH\)
c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng \(IH = IE\)
Quảng cáo
a) Tứ giác có hai đỉnh nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(\Delta AHB \sim \Delta ACD\;\;\left( {g - g} \right)\) (g.g) từ đó suy ra đpcm
c) Chứng minh \(\Delta EIH\) cân tại \(I\) bằng cách chứng minh 2 góc ở đáy bằng nhau từ đó suy ra hai cạnh bên bằng nhau.
a) Chứng minh rằng tứ giác AEHB nội tiếp
Tứ giác AEHB có:
\(\begin{array}{l}\angle AEB = {90^0}{\rm{ }}(BE \bot AD)\\\angle AHB = {90^0}{\rm{ }}(AH \bot BC)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Đỉnh E, H của tứ giác AEHB cùng nhìn cạnh AB dưới 1 góc vuông
\( \Rightarrow \) Tứ giác AEHB nội tiếp. (dhnb)
b) Chứng minh rằng \(AH.DC = AC.BH\)
Ta có C thuộc đường tròn (O) đường kính AD
\( \Rightarrow \angle ACD = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta ACD\) có:
\(\angle AHB = \angle ACD\,\,\,\,( = {90^o})\)
\(\angle ABH = \angle ADC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta ACD\;\;\left( {g - g} \right).\\ \Rightarrow \frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{BH}}{{DC}} \Rightarrow AH.DC = AC.BH\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng \(IH = IE\)
Ta có tứ giác AEHB nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle BAD = \angle EHI\) (tính chất)
Mặt khác \(\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BOD\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn 1 cung)
\( \Rightarrow \angle EHI = \frac{1}{2}\angle BOD\;\;\left( 1 \right)\)
Lại có: \(IB = IC\;\left( {gt} \right) \Rightarrow OI \bot BC \Rightarrow \angle BIO = \angle BEO = {90^o}.\)
\( \Rightarrow \) Đỉnh E,I của tứ giác BIEO cùng nhìn cạnh BO dưới 1 góc vuông
\( \Rightarrow \) Tứ giác BIEO nội tiếp (dhnb) \( \Rightarrow \angle EIC = \angle BOD\) (tính chất) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle EHI = \frac{1}{2}\angle EIC \Rightarrow \angle EIC = 2\angle EHI\)
Mà \(\angle EIC = \angle EHI + \angle IEH\) (góc ngoài \(\Delta EIH\))
\( \Rightarrow \angle EHI = \angle IEH\)
\( \Rightarrow \Delta EIH\) cân tại \(I\) \( \Rightarrow IH = IE\) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
