Cho \(a,b\) là các số thực thỏa mãn \(\left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right) = \frac{{25}}{4}\). Tìm

Câu hỏi số 316885:

Vận dụng cao

Cho \(a,b\) là các số thực thỏa mãn \(\left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right) = \frac{{25}}{4}\). Tìm GTNN của \(P = \sqrt {1 + {a^4}} + \sqrt {1 + {b^4}} \)

A. \(\min P = \frac{{\sqrt {17} }}{2}\)

B. \(\min P = \sqrt {17} \)

C. \(\min P = \sqrt {15} \)

D. \(\min P = \frac{{\sqrt {15} }}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:316885

Phương pháp giải

Áp dụng BĐT Minicopski: \(\sqrt {{m^2} + {n^2}} + \sqrt {{p^2} + {q^2}} \ge \sqrt {{{\left( {m + p} \right)}^2} + {{\left( {n + q} \right)}^2}} \,\,\,\,\,\forall m,n,p,q \in \mathbb{R}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow mq = np\)

Biến đổi giả thiết đề bài và sử dụng BDDT Cô-si để tìm GTNN của \({a^2} + {b^2}\) từ đó tìm GTNN của \(P\)

Giải chi tiết

Áp dụng BĐT Minicopski ta có:

\(P = \sqrt {1 + {a^4}} + \sqrt {1 + {b^4}} \ge \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2} + 4} \)

Từ giả thiết ta có: \(\left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right) = \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow 2a + 2b + ab = \frac{9}{4}\)

Ta có: \({a^2} + {b^2} \ge 2ab \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab\) (1)

Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}4{a^2} + 1 \ge 4a\\4{b^2} + 1 \ge 4b\end{array} \right. \Rightarrow 4{a^2} + 4{b^2} \ge 4\left( {a + b} \right) - 2 \Rightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge 2\left( {a + b} \right) - 1\) (2)

Cộng theo vế các BĐT (1) và (2) ta được: \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge ab + 2\left( {a + b} \right) - 1\)

\( \Rightarrow \frac{5}{2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge 2a + 2b + ab - 1 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2}\\ \Rightarrow P \ge \sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2} + 4} \ge \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + 4} = \frac{{\sqrt {17} }}{2}.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\2a = 1\\2b = 1\\2a + 2b + ab = \frac{9}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) bằng \(\frac{{\sqrt {17} }}{2}\) đạt được khi \(a = b = \frac{1}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link