Tìm tập \(S\) tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để tồn tại duy nhất cặp số

Câu hỏi số 317430:

Vận dụng

Tìm tập \(S\) tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để tồn tại duy nhất cặp số \(\left( {x;\,y} \right)\) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {4x + 4y - 6 + {m^2}} \right) \ge 1\) và \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 1 = 0\).

A. \(S = \left\{ { - 5;5} \right\}\)

B. \(S = \left\{ { - 7; - 5; - 1;1;5;7} \right\}\).

C. \(S = \left\{ { - 5; - 1;1;5} \right\}\)

D. \(S = \left\{ { - 1;1} \right\}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:317430

Phương pháp giải

+) Giải bất phương trình logarit cơ bản \({\log _a}f\left( x \right) \ge {\log _a}g\left( x \right)\,\,\left( {a > 1} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\), suy ra tập hợp các cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là một hình tròn.

+) Tìm điều kiện để 2 đường biểu diễn tập hợp cặp số \(\left( {x;y} \right)\) có 1 điểm chung duy nhất.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {4x + 4y - 6 + {m^2}} \right) \ge 1 = {\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {{x^2} + {y^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 4x + 4y - 6 + {m^2} \ge {x^2} + {y^2} + 2\,\,\left( {Do\,\,{x^2} + {y^2} + 2 > 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 4y - {m^2} + 8 \le 0\,\;\;\;\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 4 + 4 + {m^2} - 8 = {m^2}\).

Theo giả thiết ta có: \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 1 = 0\,\;\;\;\,\left( 2 \right)\)

TH1: \(m = 0 \Rightarrow \left( 1 \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 8 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right..\)

Cặp số \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right)\) không thỏa mãn điều kiện (2).

TH2: \(m \ne 0 \Rightarrow {m^2} > 0 \Rightarrow \) Tập hợp các cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\left( 1 \right)\) là hình tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) (kể cả biên) tâm \({I_1}\left( {2;2} \right)\) bán kính \({R_1} = m\).

Tập hợp các cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\left( 2 \right)\) là đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) tâm \({I_2}\left( { - 1;2} \right)\) bán kính \({R_2} = \sqrt {1 + 4 - 1} = 2\).

Để để tồn tại duy nhất cặp số \(\left( {x;\,y} \right)\) thỏa mãn 2 điều kiện (1) và (2) \( \Rightarrow \) Xảy ra 2 trường hợp sau:

TH1: \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc ngoài \( \Leftrightarrow {I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}} = m + 2\)

\( \Leftrightarrow 3 = m + 2 \Leftrightarrow m = 1\,\,\left( {tm} \right)\).

TH2: \(\left( {{C_1}} \right);\;\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc trong và \({R_1} < {R_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{I_1}{I_2} = \left| {{R_1} - {R_2}} \right|\\m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 = \left| {m - 2} \right|\\m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 5\\m = - 1\end{array} \right.\\m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(S = \left\{ { \pm 1} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.